Pythagorova věta: Vyřešená a komentovaná cvičení

Pythagorova věta naznačuje, že v pravoúhlém trojúhelníku je míra přepony na druhou rovna součtu čtverců měr nohou.

Využijte vyřešených a komentovaných cvičení a odpovězte na všechny své pochybnosti o tomto důležitém obsahu.

Navrhovaná cvičení (s rozlišením)

Otázka 1

Carlos a Ana odešli domů do práce ze stejného místa, garáže budovy, kde bydlí. Po 1 minutě cesty kolmou cestou byli 13 m od sebe.

Pokud Carlosovo auto za tu dobu udělalo o 7 m více než Ana, jak daleko byli od garáže?

a) Carlos byl 10 m od garáže a Ana byla 5 m.
b) Carlos byl 14 m od garáže a Ana byla 7 m.
c) Carlos byl 12 m od garáže a Ana byla 5 m.
d) Carlos byl 13 m od garáže a Ana byla 6 m.

Viz odpověď

Správná odpověď: c) Carlos byl 12 m od garáže a Ana byla 5 m.

Boky pravoúhlého trojúhelníku vytvořené v této otázce jsou:

• přepona: 13 m
• větší noha: 7 + x
• kratší noha: x

Použitím hodnot v Pythagorově větě máme:

Nyní použijeme Bhaskarův vzorec k nalezení hodnoty x.

Protože se jedná o míru délky, musíme použít kladnou hodnotu. Proto strany pravoúhlého trojúhelníku vytvořené v této otázce jsou:

• přepona: 13 m
• delší noha: 7 + 5 = 12 m
• kratší noha: x = 5 m

Ana tedy byla 5 metrů od garáže a Carlos byl 12 metrů daleko.

otázka 2

Carla, když hledala své kotě, ho viděla na vrcholu stromu. Poté požádala matku o pomoc a ke stromu položili žebřík, aby pomohli kočce dolů.

Věděli jsme, že kočka byla 8 metrů od země a základna žebříku byla umístěna 6 metrů od stromu, jak dlouho byl žebřík používán k záchraně kotě?

a) 8 metrů.
b) 10 metrů.
c) 12 metrů.
d) 14 metrů.

Viz odpověď

Správná odpověď: b) 10 metrů.

Všimněte si, že výška, ve které je kočka, a vzdálenost, na kterou je umístěn žebřík, tvoří pravý úhel, tj. Úhel 90 stupňů. Protože je žebřík umístěn naproti pravému úhlu, odpovídá jeho délka přeponě pravého trojúhelníku.

Použitím hodnot uvedených v Pythagorově teorému zjistíme hodnotu přepony.

Proto je žebřík dlouhý 10 metrů.

otázka 3

Podle opatření uvedených v alternativách níže, které představují hodnoty pravoúhlého trojúhelníku?

a) 14 cm, 18 cm a 24 cm
b) 21 cm, 28 cm a 32 cm
c) 13 cm, 14 cm a 17 cm
d) 12 cm, 16 cm a 20 cm

Viz odpověď

Správná odpověď: d) 12 cm, 16 cm a 20 cm.

Abychom zjistili, zda předložené míry tvoří pravý trojúhelník, musíme na každou alternativu použít Pythagorovu větu.

a) 14 cm, 18 cm a 24 cm

b) 21 cm, 28 cm a 32 cm

c) 13 cm, 14 cm a 17 cm

d) 12 cm, 16 cm a 20 cm

Proto míry 12 cm, 16 cm a 20 cm odpovídají stranám pravoúhlého trojúhelníku, protože čtverec přepony, nejdelší strana, se rovná součtu čtverce nohou.

otázka 4

Všimněte si následujících geometrických obrazců, které mají jednu stranu umístěnou v přeponě pravoúhlého trojúhelníku o rozměrech 3 m, 4 ma 5 m.

Najděte výšku (h) rovnostranného trojúhelníku BCD a hodnotu úhlopříčky (d) čtvercového BCFG.

a) h = 4,33 ma d = 7,07 m
b) h = 4,72 ma d = 8,20 m
c) h = 4,45 ma d = 7,61 m
d) h = 4,99 ma d = 8,53 m

Viz odpověď

Správná odpověď: a) h = 4,33 ma d = 7,07 m.

Jelikož je trojúhelník rovnostranný, znamená to, že jeho tři strany mají stejnou míru. Nakreslením čáry, která odpovídá výšce trojúhelníku, jsme ji rozdělili na dva pravé trojúhelníky.

Totéž platí pro čtverec. Když nakreslíme jeho diagonální čáru, uvidíme dva pravé trojúhelníky.

Použitím dat z příkazu v Pythagorově větě zjistíme hodnoty následovně:

1. Výpočet výšky trojúhelníku (pravá noha trojúhelníku):

Poté se dostaneme k vzorci pro výpočet výšky. Nyní stačí nahradit hodnotu L a vypočítat ji.

2. Výpočet úhlopříčky čtverce (přepona pravoúhlého trojúhelníku):

Výška rovnostranného trojúhelníku BCD je tedy 4,33 a hodnota úhlopříčky čtverce BCFG je 7,07.

Podívejte se taky: Pythagorova věta

Problémy s přijímací zkouškou byly vyřešeny

otázka 5

(Cefet / MG - 2016) Drak, jehož obrázek je uveden níže, byl postaven ve formátu ABCD čtyřúhelník, a . Hůl draka protíná tyč ve svém středu E a tvoří pravý úhel. Při konstrukci tohoto draka byla použita opatření použité jsou 25 cm, respektive 20 cm, a měření se rovná míry .

Za těchto podmínek je míra , v cm, se rovná

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Viz odpověď

Správná alternativa: c) 55.

Když sledujeme obrázek otázky, vidíme, že segment DE, který chceme najít, je stejný jako segment BD odečtením segmentu BE.

Jelikož víme, že segment BE se rovná 20 cm, musíme najít hodnotu segmentu BD.

Všimněte si, že problém nám dává následující informace:

Abychom našli míru BD, potřebujeme znát hodnotu segmentu AC.

Protože bod E rozděluje segment na dvě stejné části (střed), pak . Prvním krokem je proto nalezení míry segmentu CE.

Abychom našli měření CE, zjistili jsme, že trojúhelník BCE je obdélník, BC je přepona a BE a CE jsou nohy, jak je znázorněno na obrázku níže:

Poté použijeme Pythagorovu větu, abychom našli míru nohy.

25² = 20²+ x²
625 = 400 + x²
X² = 625 - 400
X² = 225
x = √225
x = 15 cm

Abychom našli obojek, mohli jsme také pozorovat, že trojúhelník je Pythagorův, to znamená, že měření jeho stran jsou mnohonásobnými počty měření trojúhelníku 3, 4, 5.

Když tedy vynásobíme 4 x 5, máme hodnotu límce (20) a pokud vynásobíme 5 x 5, máme přeponu (25). Druhá noha proto mohla být pouze 15 (5. 3).

Nyní, když jsme našli hodnotu EC, můžeme najít další opatření:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm

Proto je míra se rovná 55 cm.

Podívejte se taky: Pythagoras

otázka 6

(IFRS - 2017) Zvažte rovnostranný trojúhelník se stranou 5√3 ܿ݉. Jaká je výška a plocha tohoto trojúhelníku?

Viz odpověď

Správná alternativa: e) 7,5 cm a 75√3 / 4 cm²

Nejprve nakreslíme rovnostranný trojúhelník a vykreslíme výšku, jak je znázorněno na obrázku níže:

Všimněte si, že výška rozděluje základnu na dva segmenty stejné míry, protože trojúhelník je rovnostranný. Všimněte si také, že trojúhelník ACD na obrázku je pravý trojúhelník.

Abychom tedy našli výškovou míru, použijeme Pythagorovu větu:

Když známe měření výšky, můžeme oblast najít pomocí vzorce:

otázka 7

(IFRS - 2016) Na následujícím obrázku je hodnota x, respektive y

Viz odpověď

Správná alternativa: a) 4√2 a √97.

Abychom našli hodnotu x, aplikujme Pythagorovu větu na pravý trojúhelník, který má strany rovné 4 cm.

X² = 4² + 4²
X² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

Abychom našli hodnotu y, použijeme také Pythagorovu větu, nyní s ohledem na to, že jedna noha měří 4 cm a druhá 9 cm (4 + 5 = 9).

y² = 4² + 9²
y² = 16 + 81
y = √97 cm

Proto je hodnota x, respektive y 4 4√2 a √97.

otázka 8

(Apprentice Sailor - 2017) Podívejte se na obrázek níže.

Na obrázku výše je rovnoramenný trojúhelník ACD, ve kterém segment AB měří 3 cm, nerovná strana AD měří 10√2 cm a segmenty AC a CD jsou kolmé. Proto je správné konstatovat, že segment BD měří:

a) √ 53 cm
b) √ 97 cm
c) √111 cm
d) √ 149 cm
e) √161 cm

Viz odpověď

Správná alternativa: d) √ 149 cm

Vzhledem k informacím uvedeným v problému sestavíme následující obrázek:

Podle obrázku zjistíme, že k nalezení hodnoty x bude nutné najít míru strany, kterou nazýváme a.

Vzhledem k tomu, že trojúhelník ACD je obdélník, použijeme Pythagorovu větu k nalezení hodnoty nohy a.

Nyní, když známe hodnotu a, můžeme najít hodnotu x zvážením pravoúhlého trojúhelníku BCD.

Všimněte si, že noha BC se rovná míře nohy minus 3 cm, tj. 10 - 3 = 7 cm. Aplikujeme-li Pythagorovu větu na tento trojúhelník, máme:

Proto je správné konstatovat, že segment BD měří √ 149 cm.

otázka 9

(IFRJ - 2013) Sportovní dvůr v areálu Arrozal Federálního institutu je obdélníkový, 100 m dlouhý a 50 m široký, což na tomto obrázku představuje obdélník ABCD.

Alberto a Bruno jsou dva studenti, kteří sportují na nádvoří. Alberto kráčí z bodu A do bodu C podél úhlopříčky obdélníku a stejnou cestou se vrací do výchozího bodu. Bruno začíná od bodu B, chodí po postranních čarách úplně kolem dvora a vrací se do výchozího bodu. Když tedy vezmeme v úvahu √5 = 2,24, uvádí se, že Bruno šel více než Alberto

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

Viz odpověď

Správná alternativa: c) 76 m.

Úhlopříčka obdélníku ji rozděluje na dva pravé trojúhelníky, přičemž přeponou je úhlopříčka a strany se rovnají stranám obdélníku.

Pro výpočet úhlopříčné míry tedy aplikujme Pythagorovu větu:

Zatímco Alberto šel a vrátil se, tak ujel 224 m.

Bruno urazil vzdálenost rovnající se obvodu obdélníku, jinými slovy:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Bruno proto šel o 76 m déle než Alberto (300 - 112 = 76 m).

otázka 10

(Enem - 2017) K výzdobě dětského večírku použije kuchař kulovitý meloun o průměru 10 cm, který poslouží jako podpora pro špíz různých sladkostí. Odstraní z melounu kulovitý náboj, jak je znázorněno na obrázku, a aby byla zajištěna stabilita této podpory, aby se meloun obtížně kutálel po stole, bude šéf řezat tak, aby byl poloměr r kruhového řezu chlupatý. minus 3 cm. Na druhou stranu bude kuchař chtít mít co největší plochu v regionu, kde budou sladkosti fixovány.

K dosažení všech svých cílů musí šéf snížit melounovou čepici ve výšce h, v centimetrech, která se rovná

Viz odpověď

Správná alternativa: c) 1

Pozorováním obrázku uvedeného v otázce jsme zjistili, že výšku h lze zjistit snížením míry segmentu OA od míry poloměru koule (R).

Poloměr koule (R) se rovná polovině jejího průměru, který je v tomto případě roven 5 cm (10: 2 = 5).

Musíme tedy najít hodnotu segmentu OA. Z tohoto důvodu vezmeme v úvahu trojúhelník OAB znázorněný na obrázku níže a použijeme Pythagorovu větu.

5² = 3² + x²
X² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

Můžeme také přímo najít hodnotu x s ​​tím, že se jedná o Pythagorovský trojúhelník 3,4 a 5.

Takže hodnota h se bude rovnat:

h = R - x
h = 5-4
v = 1 cm

Šéfkuchař by proto měl snížit melounovou čepici ve výšce 1 cm.

otázka 11

(Enem - 2016 - 2. aplikace) Boccia je sport, který se hraje na kurtech, které jsou rovinaté a rovné, omezené obvodovými dřevěnými plošinami. Cílem tohoto sportu je házet míčky, což jsou míčky vyrobené ze syntetického materiálu umístěte je co nejblíže bolimu, kterým je dříve menší koule, nejlépe z oceli spuštěno. Obrázek 1 ilustruje bocce míč a bolim, které byly hrány na hřišti. Předpokládejme, že hráč hodil míč o poloměru 5 cm, který byl opřený o bolim, o poloměru 2 cm, jak je znázorněno na obrázku 2.

Zvažte bod C jako střed míče a bod O jako střed míče. Je známo, že A a B jsou body, ve kterých se koule bocce a bollin dotýkají země hřiště, a že vzdálenost mezi A a B se rovná d. Jaký je za těchto podmínek poměr mezi d a poloměrem bolimu?

Viz odpověď

Správná alternativa: e) √10

Pro výpočet hodnoty vzdálenosti d mezi body A a B vytvořme postavu spojující středy dvou koulí, jak je znázorněno níže:

Všimněte si, že modrá tečkovaná postava má tvar hrazdy. Rozdělme tuto hrazdu, jak je znázorněno níže:

Rozdělením lichoběžníku získáme obdélník a pravý trojúhelník. Přepona trojúhelníku se rovná součtu poloměru koule bocce s poloměrem bolim, tj. 5 + 2 = 7 cm.

Měření jedné z nohou se rovná d a měření druhé nohy se rovná měření segmentu CA, což je poloměr koule bocce, minus poloměr bolimu (5 - 2 = 3) .

Tímto způsobem můžeme najít míru d pomocí Pythagorovy věty na tento trojúhelník, tj.:

7² = 3² - z²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Poměr mezi vzdáleností d a bolimem bude tedy dán vztahem:.

otázka 12

(Enem - 2014) Denně rezidence spotřebuje 20 160 Wh. Tato rezidence má 100 solárních článků obdélníkové (zařízení schopné přeměňovat sluneční světlo na elektrickou energii) o rozměrech 6 cm x 8 cm. Každá taková buňka produkuje po celý den 24 Wh na centimetr úhlopříčky. Majitel tohoto domu chce za den vyrobit přesně stejné množství energie, které jeho dům spotřebuje. Co by měl tento majitel udělat, aby dosáhl svého cíle?

a) Odeberte 16 buněk.
b) Odstraňte 40 buněk.
c) Přidejte 5 buněk.
d) Přidejte 20 buněk.
e) Přidejte 40 buněk.

Viz odpověď

Správná alternativa: a) Odstraňte 16 buněk.

Nejprve budete muset zjistit, jaký je energetický výstup každé buňky. Za tímto účelem musíme najít míru úhlopříčky obdélníku.

Úhlopříčka se rovná přeponě trojúhelníku s nohami rovnými 8 cm a 6 cm. Potom vypočítáme úhlopříčku pomocí Pythagorovy věty.

Pozorujeme však, že dotyčný trojúhelník je Pythagorův, který je násobkem trojúhelníku 3,4 a 5.

Tímto způsobem bude měření přepony rovné 10 cm, protože strany Pythagorova trojúhelníku 3,4 a 5 se vynásobí 2.

Nyní, když známe úhlopříčné měření, můžeme vypočítat energii produkovanou 100 buňkami, tj .:

E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Jelikož se spotřebovaná energie rovná 20 160 Wh, budeme muset snížit počet článků. Chcete-li zjistit toto číslo, uděláme:

24 000 - 20 160 = 3 840 Wh

Vydělením této hodnoty energií produkovanou buňkou zjistíme číslo, které by mělo být sníženo, to znamená:

3 840: 240 = 16 buněk

Činností vlastníka, aby dosáhl svého cíle, by proto mělo být odstranění 16 buněk.

Další informace najdete také: Trigonometrická cvičení