Zákon o hříchech: aplikace, příklad a cvičení

THE zákon hříchů určuje, že v libovolném trojúhelníku je sinusový vztah úhlu vždy úměrný míře strany naproti tomuto úhlu.

Tato věta ukazuje, že ve stejném trojúhelníku bude vždy poměr mezi hodnotou jedné strany a sinusem jejího opačného úhlu konstantní.

Pro trojúhelník ABC se stranami a, b, c tedy zákon hříchů připouští následující vztahy:

Znázornění Zákonů hříchů v trojúhelníku

Příklad

Pro lepší pochopení vypočítáme míru stran AB a BC tohoto trojúhelníku jako funkci míry b strany AC.

Podle zákona sines můžeme navázat následující vztah:

Proto AB = 0,816b a BC = 1,115b.

Poznámka: Hodnoty sinusů byly konzultovány v tabulka trigonometrických poměrů. V něm můžeme najít hodnoty úhlů od 1 ° do 90 ° každé trigonometrické funkce (sinus, kosinus a tangenta).

Při výpočtech trigonometrie se nejčastěji používají úhly 30 °, 45 ° a 60 °. Proto se jim říká pozoruhodné úhly. Podívejte se na tabulku s níže uvedenými hodnotami:

Trigonometrické vztahy	30°	45°	60°
Sinus	1/2	√2/2	√3/2
kosinus	√3/2	√2/2	1/2
Tečna	√3/3	1	√3

Uplatňování zákona hříchů

instagram story viewer

Sinusový zákon používáme v akutních trojúhelnících, kde jsou vnitřní úhly menší než 90 ° (akutní); nebo v tupých trojúhelnících, které mají vnitřní úhly větší než 90 ° (tupé). V těchto případech můžete také použít Kosinový zákon.

Hlavním cílem použití Zákona hříchů nebo kosinusů je objevit měření stran trojúhelníku a také jeho úhlů.

Reprezentace trojúhelníků podle jejich vnitřních úhlů

A zákon hříchů v obdélníkovém trojúhelníku?

Jak již bylo zmíněno výše, Zákon hříchů se používá v akutních i tupých trojúhelnících.

V pravoúhlých trojúhelnících, vytvořených vnitřním úhlem 90 ° (rovně), jsme použili Pythagorovu větu a vztahy mezi jejími stranami: protilehlou, sousední stranou a přeponou.

Reprezentace pravého trojúhelníku a jeho stran

Tato věta má následující tvrzení: „součet čtverců jejich nohou odpovídá čtverci jejich přepony". Jeho vzorec je vyjádřen:

H² = ca.²+ spol²

Když tedy máme pravý trojúhelník, sinus bude poměrem mezi délkou protilehlé nohy a délkou přepony:

Na přeponě to zní naproti.

Kosinus odpovídá poměru mezi délkou sousední nohy a délkou přepony, představovanou výrazem:

Čte se vedle přepony.

Cvičení na přijímací zkoušky

1.(UFPB) Radnice určitého města postaví přes řeku, která protíná toto město, most, který musí být rovný a spojovat dva body, A a B, umístěné na opačných březích řeky. Pro měření vzdálenosti mezi těmito body lokalizoval geodet třetí bod, C, 200 m od bodu A a na stejném břehu řeky jako bod A. Pomocí teodolitu (přesného nástroje pro měření vodorovných a svislých úhlů, který se často používá v topografické práci), geodet zjistil, že úhly B C s horním logickým spojením A prostor a prostor C A s horním logickým spojením B měřeno 30 °, respektive 105 °, jak je znázorněno na následujícím obrázku.

Na základě těchto informací je správné konstatovat, že vzdálenost v metrech od bodu A do bodu B je:

a prostor v pravé závorce 200 odmocnina ze 2 koncového prostoru kořene b prostor v pravé závorce 180 odmocnina ze 2 koncového prostoru kořene c závorka pravá mezera 150 druhá odmocnina ze 2 mezery d pravá závorka mezera 100 druhá odmocnina ze 2 mezer a pravá mezera v mezerách 50 druhá odmocnina ze 2

Viz odpověď

R e s p ost a space c o r e t a dvojtečka space d right parenthesis space 100 odmocnina ze 2

objektivní: Určete míru AB.

Idea 1 - Zákon hříchů k určení AB

Na obrázku je trojúhelník ABC, kde strana AC měří 200 ma máme dva určené úhly.

být úhel B s horním logickým spojením naproti straně AC 200 m a úhlu C naproti straně AB, můžeme určit AB přes hříchový zákon.

čitatel A B nad jmenovatelem s a mezerou 30 stupňů znaménko konec zlomku prostoru rovného prostoru čitatele A C o jmenovateli sa n prostor začátek styl show B s logickou spojkou horní index konec styl konec zlomek

THE hříchový zákon určuje, že poměry mezi rozměry stran a sinusů opačných úhlů, odpovídajících těmto stranám, jsou stejné ve stejném trojúhelníku.

Nápad 2 - určit úhel

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 °, takže můžeme určit úhel B.

B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °

Nahrazení hodnoty B s horním logickým spojením v sinusovém zákoně a provádění výpočtů.

čitatel A B prostor nad jmenovatelem sa n prostor 30 stupňů znaménko konec zlomku prostor se rovná prostoru čitatele A C nad jmenovatelem prostor sa an prostor B konec čitatele zlomku A B prostor nad jmenovatelem sa n prostor 30 stupňů konec konce zlomku prostor se rovná prostoru čitatele A C nad jmenovatelem prostor s e n mezera znaménko 45 stupňů konec čitatele zlomku A mezera B nad jmenovatelem počáteční styl zobrazit 1 poloviční konec stylu konec zlomku prostoru rovný čitatelský prostor A C nad jmenovatelem prostor počáteční styl zobrazit čitatel druhou odmocninu 2 nad jmenovatelem 2 konec zlomku konec stylu konec zlomku 2 A B prostor rovný čitateli 2 A C nad jmenovatelem druhé odmocniny 2 konce zlomku A B prostor rovný čitateli A C nad jmenovatelem druhé odmocniny 2 konec zlomku

Všimněte si, že ve jmenovateli je druhá odmocnina. Pojďme tento kořen provést racionalizací, což je násobení jmenovatele i čitatele zlomku samotným kořenem.

A B prostor rovný čitateli A C nad druhou odmocninou druhé odmocniny 2 konce zlomkového prostoru rovný čitateli prostoru A C prostor. druhá odmocnina prostoru 2 nad jmenovatelem druhá odmocnina 2 prostoru. odmocnina prostoru 2 konce zlomku prostoru rovna prostoru čitatele A prostor C. druhá odmocnina 2 nad jmenovatelem druhá odmocnina 4 konec zlomku prostor rovný čitateli prostor A prostor C. druhá odmocnina prostoru 2 nad jmenovatelem 2 konec zlomku

Nahrazením hodnoty AC máme:

Prostor B se rovná čitateli prostoru 200. druhá odmocnina 2 nad jmenovatelem 2 konec zlomku prostor rovný prostoru 100 druhá odmocnina ze 2

Proto je vzdálenost mezi body A a B 100 druhá odmocnina 2 m prostoru .

2. (Mackenzie - SP) Tři ostrovy A, B a C se objeví na mapě v měřítku 1: 10 000, jak je znázorněno na obrázku. Z alternativ je nejlepší přiblížit vzdálenost mezi ostrovy A a B:

a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km

Viz odpověď

Správná odpověď: e) 1,7 km

Cíl: Určete míru segmentu AB.

Myšlenka 1: Pomocí sinusového zákona vyhledejte míru AB

Zákon hříchů: Měření stran trojúhelníku jsou úměrná sinusům jejich protilehlých úhlů.

čitatel 12 nad jmenovatelem sa n prostor 30 konec zlomku prostoru rovný prostoru čitatel A B nad jmenovatel prostor s a n prostor začátek styl show C s logickou spojkou horní index konec styl konec prostorový zlomek

Nápad 2: Určete úhel

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku se rovná 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Myšlenka 3: Aplikujte hodnotu C v sinusovém zákoně

čitatel 12 nad jmenovatelem sa n prostor 30 konec zlomku prostoru rovný prostoru čitatel A B nad jmenovatel mezera s a n mezera začátek stylu zobrazit 45 konec stylu konec zlomku mezera 12 mezera. prostor s a n prostor 45 prostor se rovná prostoru A B prostor. prostor s a n prostor 30 12 prostor. čitatel prostoru druhá odmocnina 2 nad jmenovatelem 2 konec zlomku prostor rovný prostoru A B prostor. mezera 1 prostřední 6 druhá odmocnina ze 2 mezery rovné čitateli A B nad jmenovatelem 2 konec zlomku 12 druhá odmocnina ze 2 mezery rovné mezeře A B

Nápad 4: Přibližte druhou odmocninu a použijte stupnici

Tvorba druhá odmocnina ze 4 přibližně stejného prostoru 1 čárka 4

12. 1,4 = 16,8

Měřítko říká 1: 10 000, vynásobeno:

16,8. 10 000 = 168 000 cm

Idea 5: přechod z cm na km

168 000 cm / 100 000 = 1,68 km

Závěr: Protože vypočítaná vzdálenost je 1,68 km, nejbližší alternativou je písmeno e.

Poznámka: Pro přechod z cm na km vydělíme 100 000, protože na následující stupnici od centimetrů do km počítáme 5 míst vlevo.

km -5- hm -4- přehrada -3- m -2- dm -1- cm mm

3. (Unifor-CE) Je známo, že v každém trojúhelníku je míra každé strany přímo úměrná sinu úhlu opačného ke straně. S využitím těchto informací se dospělo k závěru, že míra strany AB trojúhelníku uvedeného níže je: