Pytagorova věta: vzorec a cvičení

Ó Pythagorova věta uvádí délku stran pravého trojúhelníku. Tento geometrický útvar je tvořen vnitřním úhlem 90 °, který se nazývá pravý úhel.

Tvrzení této věty je:

"Součet čtverců vašich nohou odpovídá čtverci vaší přepony."

Vzorec Pythagorovy věty

Podle tvrzení Pythagorovy věty je vzorec znázorněn následovně:

The² = b² + c²

Bytost,

The: přepona
B: cateto
C: cateto

THE přepona je nejdelší strana pravého trojúhelníku a strana naproti pravému úhlu. Další dvě strany jsou nohy. Úhel tvořený těmito dvěma stranami má míru rovnou 90 ° (pravý úhel).

Rovněž jsme identifikovali nohy podle referenčního úhlu. To znamená, že strana může být nazývána sousední strana nebo protilehlá strana.

Když je noha blízko referenčního úhlu, je volána přilehlý, na druhou stranu, pokud je proti tomuto úhlu, je volán naproti.

Níže jsou uvedeny tři příklady aplikací Pythagorovy věty na metrické vztahy pravého trojúhelníku.

Příklad 1: vypočítat míru přepony

Pokud má pravoúhlý trojúhelník jako míry nohou 3 cm a 4 cm, jaká je přepona tohoto trojúhelníku?

Proto jsou strany pravého trojúhelníku 3 cm, 4 cm a 5 cm.

Příklad 2: vypočítat míru jedné z nohou

Určete míru nohy, která je součástí pravoúhlého trojúhelníku, jehož přepona je 20 cm a druhá noha měří 16 cm.

Proto jsou rozměry stran pravého trojúhelníku 12 cm, 16 cm a 20 cm.

Příklad 3: zkontrolujte, zda je trojúhelník obdélník

Trojúhelník má strany o rozměrech 5 cm, 12 cm a 13 cm. Jak víte, že je to pravý trojúhelník?

Aby se dokázalo, že pravý trojúhelník je pravdivý, musí se měření jeho stran řídit Pytagorovou větou.

Jelikož zadaná opatření uspokojují Pythagorovu větu, tj. Čtverec přepony se rovná součtu čtverce nohou, můžeme říci, že trojúhelník je obdélník.

Přečtěte si také: Metrické vztahy v trojúhelníku

Pythagorovský trojúhelník

Když měří strany a pravoúhlý trojuhelník jsou kladná celá čísla, trojúhelník se nazývá Pythagorovský trojúhelník.

V tomto případě se nohy a přepona nazývají „pythagorovský oblek“ nebo „pythagorovská trojice“. Abychom zkontrolovali, zda tři čísla tvoří Pythagorovu trojici, použijeme vztah k² = b² + c².

Nejznámější pythagorovskou trojici představují čísla: 3, 4, 5. Přepona je rovna 5, větší noha rovná 4 a menší noha 3.

Všimněte si, že oblast čtverců nakreslených na každé straně trojúhelníku souvisí stejně jako Pythagorova věta: plocha čtverce na dlouhé straně odpovídá součtu ploch ostatních dvou náměstí.

Je zajímavé, že násobky těchto čísel také tvoří pythagorovský oblek. Například pokud vynásobíme trojici 3, 4 a 5 číslem 3, dostaneme čísla 9, 12 a 15, která také tvoří pythagorovský oblek.

Kromě obleků 3, 4 a 5 existuje celá řada dalších obleků. Jako příklad můžeme uvést:

• 5, 12 a 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 a 29
• 12, 35 a 37

Přečtěte si také: Trigonometrie v obdélníkovém trojúhelníku

Kdo byl Pythagoras?

podle historie Pythagoras ze Samosu (570 a. C. - 495 a. C.) byl řecký filozof a matematik, který založil Pythagorovu školu v jižní Itálii. Také nazývaná Pythagorova společnost zahrnovala studium matematiky, astronomie a hudby.

Ačkoli metrické vztahy pravého trojúhelníku poznali už Babyloňané, kteří žili dlouho před Pytagorou, první důkaz, že tato věta platila pro jakýkoli pravý trojúhelník, se předpokládá, že byl vytvořen Pythagoras.

Pythagorova věta je jednou z nejznámějších, nejdůležitějších a nejpoužívanějších vět v matematice. Je zásadní při řešení problémů v analytické geometrii, rovinné geometrii, prostorové geometrii a trigonometrii.

Kromě věty byly dalšími důležitými příspěvky Pythagorovy společnosti pro matematiku:

• Objev iracionálních čísel;
• Vlastnosti celých čísel;
• MMC a MDC.

Přečtěte si také: Matematické vzorce

Důkazy Pythagorovy věty

Existuje několik způsobů, jak dokázat Pythagorovu větu. Například kniha Pythagorejský návrh, vydané v roce 1927, představilo 230 způsobů, jak to demonstrovat, a další vydání vydané v roce 1940 se zvýšilo na 370 demonstrací.

Podívejte se na video níže a podívejte se na několik ukázek Pythagorovy věty.

Kolik existuje způsobů, jak dokázat Pythagorovu větu? - Betty Fei

Komentovaná cvičení k Pythagorově větě

Otázka 1

(PUC) Součet čtverců tří stran pravého trojúhelníku se rovná 32. Jak dlouhá je přepona trojúhelníku?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Viz odpověď

Správná alternativa: b) 4.

Z informací v prohlášení víme, že² + b² + c² = 32. Na druhou stranu, podle Pythagorovy věty musíme² = b² + c² .

Nahrazení hodnoty b²+ c² podle² v prvním výrazu najdeme:

The² +² =32 ⇒ 2. The² = 32 ⇒ až² = 32/2 ⇒ do² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

Další otázky viz: Pythagorova věta - cvičení

otázka 2

(A buď)

Na obrázku výše, který představuje design schodiště s 5 schody stejné výšky, se celková délka zábradlí rovná:

a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 mil

Viz odpověď

Správná alternativa: b) 2,1 m.

Celková délka zábradlí se bude rovnat součtu dvou úseků délky rovných 30 cm s úsekem, pro který neznáme míru.

Z obrázku můžeme pozorovat, že neznámá část představuje přeponu pravoúhlého trojúhelníku, jehož míra jedné z nohou je rovna 90 cm.

Abychom našli míru druhé nohy, musíme přidat délku 5 kroků. Proto máme b = 5. 24 = 120 cm.

Pro výpočet přepony použijeme na tento trojúhelník Pythagorovu větu.

The² = 90² + 120² na² = 8100 + 14 400 ⇒ do² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Všimněte si, že k výpočtu přepony jsme mohli použít myšlenku Pythagorovy barvy, protože nohy (90 a 120) jsou násobky barvy 3, 4 a 5 (vynásobením všech výrazů 30).

Tímto způsobem bude celková míra zábradlí:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Otestujte si své znalosti pomocí Trigonometrická cvičení

otázka 3

(UERJ) Millôr Fernandes v nádherné poctě matematice napsal báseň, ze které extrahujeme fragment níže:

Na tolik listů knihy z matematiky,
kvocient se jednoho dne divoce zamiloval
neznámý.
Díval se na ni svým nespočetným pohledem
a viděl ji od vrcholu k základně: zvláštní postava;
kosodélníkové oči, lichoběžníková ústa,
obdélníkové tělo, sféroidní prsa.
Váš život byl paralelní s jejím,
dokud se nesetkali v nekonečnu.
"Kdo jsi?" - zeptal se v radikální úzkosti.
"Jsem součet čtverců nohou."
Ale můžete mi říkat přepona.”

(Millôr Fernandes. Třicet let sebe sama.)

Incognita se mýlil, když řekl, o koho jde. Ke splnění Pythagorovy věty je třeba učinit následující

a) „Jsem čtverec součtu nohou. Ale říkej mi čtverec přepony. “
b) „Jsem součet nohou. Ale můžeš mi říkat přepona. “
c) „Jsem čtverec součtu nohou. Ale můžeš mi říkat přepona. “
d) „Jsem součet čtverců nohou. Ale říkej mi čtverec přepony. “

Viz odpověď

Alternativa d) „Jsem součet čtverců nohou. Ale říkej mi čtverec přepony. “

Další informace o tématu:

• rovnoramenný trojúhelník
• Sinus, kosinus a tečna
• Matematika v Enem