Rovnici přímky lze určit jejím zakreslením do kartézské roviny (x, y). Známe-li souřadnice dvou odlišných bodů patřících k přímce, můžeme určit její rovnici.
Rovněž je možné definovat rovnici přímky na základě jejího sklonu a souřadnic bodu, který k ní patří.
obecná rovnice přímky
Dva body definují přímku. Tímto způsobem můžeme najít obecnou rovnici přímky zarovnáním dvou bodů s obecným bodem (x, y) na přímce.
Nechte body A (xTheyyThe) a B (xByyB), náhodné a patřící do karteziánského plánu.
Tři body jsou zarovnány, když je determinant matice spojené s těmito body roven nule. Musíme tedy vypočítat determinant následující matice:
Při vývoji determinantu najdeme následující rovnici:
(rThe -yB) x + (x.)B - XThe) y + xTheyB - XByThe = 0
Zavolejme:
a = (rThe -yB)
b = (xB - XThe)
c = xTheyB - XByThe
Obecná rovnice přímky je definována jako:
ax + by + c = 0
Kde The, B a C jsou konstantní a The a B nemohou být současně nulové.
Příklad
Najděte obecnou rovnici přímky, která prochází body A (-1, 8) a B (-5, -1).
Nejprve musíme napsat podmínku tříbodového zarovnání, definovat matici spojenou s danými body a obecný bod P (x, y) patřící k řádku.
Při vývoji determinantu nacházíme:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
Obecná rovnice přímky procházející body A (-1,8) a B (-5, -1) je:
9x - 4y + 41 = 0
Chcete-li se dozvědět více, přečtěte si také:
- Sídlo společnosti
- určující
- Laplaceova věta
Line redukovaná rovnice
Úhlový koeficient
Můžeme najít rovnici přímky r znát jeho sklon (směr), tj. hodnotu úhlu θ, kterou čára představuje ve vztahu k ose x.
K tomu přiřadíme číslo m, který se nazývá sklon přímky, takový, že:
m = tg θ
svahu m lze ji také najít poznáním dvou bodů patřících k přímce.
Protože m = tg θ, pak:
Příklad
Určete sklon přímky r, která prochází body A (1,4) a B (2,3).
Bytost,
X1 = 1 a y1 = 4
X2 = 2 a y2 = 3
Znát úhlový koeficient přímky m a bod P0(X0yy0) patřící k ní, můžeme definovat její rovnici.
Z tohoto důvodu dosadíme známý bod P do vzorce sklonu.0 a obecný bod P (x, y), také patřící do řádku:
Příklad
Určete rovnici přímky, která prochází bodem A (2,4) a má sklon 3.
Chcete-li najít rovnici přímky, stačí nahradit dané hodnoty:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
lineární koeficient
lineární koeficient Ne rovný r je definován jako bod, kde přímka protíná osu y, tj. bod souřadnic P (0, n).
Pomocí tohoto bodu máme:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (redukovaná přímková rovnice).
Příklad
S vědomím, že rovnice přímky r je dána vztahem y = x + 5, určete její sklon, jeho sklon a bod, kde přímka protíná osu y.
Protože máme redukovanou rovnici přímky, pak:
m = 1
Kde m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Průsečíkem přímky s osou y je bod P (0, n), kde n = 5, pak bod bude P (0,5)
Přečtěte si také Výpočet sklonu
Rovnice úsečky
Můžeme vypočítat sklon pomocí bodu A (a, 0), který protíná osu x, a bodu B (0, b), který protíná osu y:
Když vezmeme v úvahu n = ba nahrazení v redukované formě, máme:
Když dělíme všechny členy ab, najdeme segmentovou rovnici přímky:
Příklad
Napište segmentovou formu rovnice přímky, která prochází bodem A (5.0) a má sklon 2.
Nejprve najdeme bod B (0, b), dosadíme do svahového výrazu:
Dosazením hodnot v rovnici máme segmentovou rovnici přímky:
Přečtěte si také o:
- Kartézský plán
- Vzdálenost mezi dvěma body
- kuželovitý
- rovný
- Rovnoběžky
- Kolmé čáry
- Úsečka
- Lineární funkce
- Afinní funkce
- Související funkční cvičení
Vyřešená cvičení
1) Vzhledem k přímce, která má rovnici 2x + 4y = 9, určete její sklon.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Proto m = - 1/2
2) Napište rovnici řádku 3x + 9y - 36 = 0 ve zmenšené podobě.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
Pro vědecký veletrh se vyrábějí dva raketové střely A a B, které mají být vypuštěny. V plánu je, aby byly vypuštěny společně, s cílem střely B zachytit A, když dosáhne své maximální výšky. Aby k tomu došlo, jeden z projektilů popíše parabolickou trajektorii, zatímco druhý popíše údajně přímou trajektorii. Graf ukazuje výšky dosažené těmito střelami jako funkce času v provedených simulacích.
Na základě těchto simulací bylo pozorováno, že by měla být změněna trajektorie střely B tak, aby
cíle bylo dosaženo.
K dosažení cíle musí být úhlový koeficient přímky, která představuje trajektorii B
a) pokles o 2 jednotky.
b) pokles o 4 jednotky.
c) zvýšení o 2 jednotky.
d) zvýšení o 4 jednotky.
e) zvýšení o 8 jednotek.
Nejprve musíme najít počáteční hodnotu sklonu přímky B.
Pamatujeme-li, že m = tg Ɵ, máme:
m1 = 12/6 = 2
Chcete-li projít bodem maximální výšky trajektorie A, sklon přímky B musí mít následující hodnotu:
m2 = 16/4 = 4
Sklon linie B se tedy bude muset změnit ze 2 na 4, poté se zvýší o 2 jednotky.
Alternativa c: zvýšení o 2 jednotky
Podívejte se taky: Cvičení z analytické geometrie
