Polynomy jsou algebraické výrazy tvořené čísly (koeficienty) a písmeny (literální části). Písmena polynomu představují neznámé hodnoty výrazu.
Příklady
a) 3ab + 5
b) x3 + 4xy - 2x2y3
c) 25x2 - 9 let2
Monomium, Binomial a Trinomial
Polynomy jsou tvořeny pojmy. Jedinou operací mezi prvky termínu je násobení.
Pokud má polynom pouze jeden člen, nazývá se a monomiální.
Příklady
a) 3x
b) 5bc
c) x2y3z4
hovory dvojčleny jsou polynomy, které mají pouze dva monomily (dva členy), oddělené operací sčítání nebo odčítání.
Příklady
a) do2 - B2
b) 3x + r
c) 5ab + 3cd2
již trinomials jsou polynomy, které mají tři monomály (tři členy), oddělené operacemi sčítání nebo odčítání.
Příklads
a) x2 + 3x + 7
b) 3ab - 4xy - 10 let
cm3n + m2 + n4
Stupeň polynomů
Stupeň polynomu je dán exponenty doslovné části.
Abychom zjistili stupeň polynomu, musíme přidat exponenty písmen, která tvoří každý člen. Největší součet bude stupeň polynomu.
Příklady
a) 2x3 + y
Exponent prvního členu je 3 a druhého členu je 1. Protože největší je 3, stupeň polynomu je 3.
b) 4x2y + 8x3y3 - xy4
Přidejme exponenty každého termínu:
4x2y => 2 + 1 = 3
8x3y3 => 3 + 3 = 6
xy4 => 1 + 4 = 5
Protože největší součet je 6, stupeň polynomu je 6
Poznámka: nulový polynom je ten, který má všechny koeficienty rovné nule. Pokud k tomu dojde, stupeň polynomu není definován.
Operace s polynomy
Níže uvádíme příklady operací mezi polynomy:
Přidávání polynomů
Tuto operaci provedeme přidáním koeficientů podobných výrazů (stejná doslovná část).
(-7x3 + 5x2y - xy + 4y) + (-2x2y + 8xy - 7y)
- 7x3 + 5x2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y
- 7x3 + 3x2y + 7xy - 3 roky
Polynomiální odčítání
Znaménko minus před závorkami obrátí znaménka uvnitř závorek. Po odstranění závorek musíme přidat podobné výrazy.
(4x2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x2 - 8xk + 14k
Násobení polynomů
V násobení musíme vynásobit termín po termínu. V násobení stejných písmen se exponenty opakují a přidávají.
(3x2 - 5x + 8). (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
-6x3 + 13x2 - 21x +8
Rozdělení polynomů
Poznámka: V polynomiálním dělení používáme klíčovou metodu. Nejprve provedeme rozdělení mezi numerickými koeficienty a poté rozdělení sil na stejné základně. Chcete-li to provést, ponechte základnu a odečtěte exponenty.
Polynomiální faktoring
Provést faktorizace polynomů máme následující případy:
Společný důkazní faktor
sekera + bx = x (a + b)
Příklad
4x + 20 = 4 (x + 5)
seskupení
ax + bx + ay + o = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)
Příklad
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)
Perfect Square Trinomial (doplněk)
The2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Příklad
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Perfect Square Trinomial (rozdíl)
The2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Příklad
X2 - 2x + 1 = (x - 1)2
Rozdíl dvou čtverců
(a + b). (a - b) = a2 - B2
Příklad
X2 - 25 = (x + 5). (x - 5)
Perfect Cube (doplněk)
The3 + 32b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Příklad
X3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3. X2. 2 + 3. X. 22 + 23 = (x + 2)3
Perfect Cube (rozdíl)
The3 - 3. místo2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Příklad
y3 - 9 let2 + 27y - 27 = r3 - 3. y2. 3 + 3. y. 32 - 33 = (y - 3)3
Přečtěte si také:
- Pozoruhodné produkty
- Pozoruhodné produkty - cvičení
- Polynomiální funkce
Vyřešená cvičení
1) Klasifikujte následující polynomy do monomiálů, binomikálů a trinomiálů:
a) 3abcd2
b) 3a + bc - d2
c) 3ab - cd2
a) monomium
b) trinomiální
c) binomické
2) Uveďte stupeň polynomů:
a) xy3 + 8xy + x2y
b) 2x4 + 3
c) ab + 2b + a
d) zk7 - 10z2k3w6 + 2x
a) stupeň 4
b) stupeň 4
c) stupeň 2
d) stupeň 11
3) Jaká je obvodová hodnota obrázku níže:
Obvod obrázku se zjistí sečtením všech stran.
2x3 + 4 + 2x3 + 4 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 = 8x3 + 12
4) Najděte oblast obrázku:
Plocha obdélníku se zjistí vynásobením základny výškou.
(2x + 3). (x + 1) = 2x2 + 5x + 3
5) Faktor polynomy
a) 8ab + 2a2b - 4b2
b) 25 + 10 let + r2
c) 9 - k2
a) Jelikož existují společné faktory, vyřaďte se tak, že tyto faktory prokážete: 2ab (4 + a - 2b)
b) Perfektní čtvercový trinomial: (5 + y)2
c) Rozdíl dvou čtverců: (3 + k). (3 - k)
Podívejte se také: Algebraické výrazy a Cvičení z algebraických výrazů
