Racionalizace jmenovatelů je technika použitá, když a zlomek má iracionální číslo ve jmenovateli a chcete najít druhý zlomek ekvivalentní prvnímu zlomku, ale který nemá iracionální číslo ve jmenovateli. K tomu je nutné provést matematické operace k přepsání zlomku tak, aby ve svém jmenovateli neměl nepřesný kořen.
Přečtěte si také: Jak řešit operace se zlomky?
Jak racionalizovat jmenovatele?
Začneme nejjednodušším případem racionalizace jmenovatelů a přejdeme k nejsložitějšímu, ale samotnou technikou je hledat ekvivalentní zlomek vynásobení čitatele a jmenovatele vhodným číslem, které umožňuje vyloučit kořen jmenovatele zlomku. Níže uvidíte, jak to udělat v různých situacích.
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Racionalizace, když je ve jmenovateli druhá odmocnina
Existuje několik zlomků, které lze reprezentovat iracionální čísla ve jmenovatelích. Podívejte se na několik příkladů:
Když je jmenovatel zlomku iracionální, použijeme některé techniky k jeho transformaci na racionálního jmenovatele, jako je racionalizace. když je
odmocnina ve jmenovateli můžeme rozdělit na dva případy. První je když má zlomek ve svém radikálu pouze jeden kořen.Příklad 1:
Abychom racionalizovali tohoto jmenovatele, najdeme zlomek ekvivalentní tomuto, ale který nemá iracionálního jmenovatele. K tomu pojďme vynásobte čitatele a jmenovatele stejným číslem - v tomto případě to bude přesně jmenovatel zlomku, tj. √3.
Na násobení zlomků, množíme se rovně. Víme, že 1 · √3 = √3. Ve jmenovateli máme √3 · √3 = √9 = 3. S tím přicházíme k následujícímu:
Proto máme zastoupení zlomku, jehož jmenovatelem není iracionální číslo.
Příklad 2:
Druhý případ je, když existuje přidání nebo rozdíl mezi nepřesným kořenem.
Pokud je ve jmenovateli rozdíl nebo přidání výrazů, jedním z nich je nepřesný kořen, vynásobíme čitatele a jmenovatele konjugátem jmenovatele. Konjugát √2 - 1 nazýváme inverzní k druhému číslu, tj. √2 + 1.
Provedením násobení v čitateli musíme:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
Jmenovatelem je pozoruhodný produkt známý jako součin součtu rozdílu. Výsledkem je vždy čtverec prvního členu minus čtverec druhého členu.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Abychom racionalizovali jmenovatele této frakce, musíme:
Podívejte se také: Tři běžné chyby ve zjednodušení algebraických zlomků
Racionalizace, pokud existuje kořen indexu větší než 2
Nyní se podívejme na několik příkladů, kdy je ve jmenovateli kořen indexů větších než 2.
Jelikož cílem je eliminovat radikál, vynásobme jmenovatele, aby bylo možné zrušit kořen jmenovatele.
Příklad 1:
V tomto případě pojďme vyloučit exponent radikálu vynásobte kubickou odmocninou 2² v čitateli a jmenovateli, takže se objeví uvnitř radikálu 2³, a je tedy možné zrušit kubický kořen.
Provedením násobení musíme:
Příklad 2:
Pomocí stejného uvažování vynásobme jmenovatele a čitatele číslem, které způsobí potence od jmenovatele k indexu, tedy pojďme vynásobte pátým kořenem ze 3 krychlí abyste mohli zrušit jmenovatele.
Přečtěte si také: Jak zjednodušit algebraické zlomky?
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Racionalizace jmenovatele zlomku níže zjistíme:
A) 1 + √3.
B) 2 (1 + √3).
C) - 2 (1+ √3).
D) √3.
E) √3 –1.
Řešení
Alternativa C.
Otázka 2 - (IFCE 2017 - upraveno) Přibližně hodnoty √5 a √3 na druhé desetinné místo získáme 2,23, respektive 1,73. Hodnota následujícího číselného výrazu s přesností na druhé desetinné místo je přibližně:
A) 1,98.
B) 0,96.
C) 3,96.
D) 0,48.
E) 0,25.
Řešení
Alternativa E.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. „Racionalizace jmenovatelů“; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm. Zpřístupněno 28. června 2021.
