Studie o číselné množiny představuje jednu z hlavních oblastí matematiky, protože jsou velmi důležité pro teoretický vývoj oblasti a mají několik praktických aplikací. Numerické sady zahrnují ve studiu:
- přirozená čísla;
- celá čísla;
- racionální čísla;
- iracionální čísla;
- reálná čísla; a
- komplexní čísla.
Přečtěte si více: Prvočísla - čísla, která mají pouze 1 a sami sebe jako dělitele
Sada přirozených čísel
Rozvoj prvních civilizací s sebou přinesl zlepšení zemědělství a obchodu a v důsledku toho i pomocí čísel představují množství. První sada přišla přirozeně, proto její název. Přirozená pojmenovaná množina slouží k vyjádření veličin, je označena znakem symbol ℕ a je psán v sekvenční formě. Dívej se:
Ó sada čísel naturaje é nekonečný a uzavřený pro operace přidání a množení, to znamená, že kdykoli sčítáme nebo vynásobíme dvě přirozená čísla, odpověď je stále přirozená. Pro operaci odčítání a divize, sada není zavřená. Dívej se:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Všimněte si, že čísla –1 a 0,5 nepatří do množiny přirozených, a to je důvod pro vytváření a studium nových množin čísel.
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Pokud umístíme hvězdičku (*) do symbolu přirozené množiny, musíme ze seznamu odstranit číslo nula, viz:
celá čísla nastavena
Celá sada čísel přišla s potřeba provést operaci odčítání bez omezení. Jak jsme viděli, když se odečte menší číslo od většího, odpověď nepatří do skupiny přirozených.
Sada celých čísel je také reprezentována nekonečnou číselnou posloupností a je označena symbol ℤ.
Stejně jako v sadě přirozených čísel, umístěním hvězdičky do symbolu ℤ se prvek nula odstraní ze sady, například takto:
Symbol (-), který doprovází číslo, znamená, že je symetrický, takže symetrický číslo 4 je číslo –4. Všimněte si také, že množina přirozených čísel je obsažena v množině celých čísel, to znamená, že množina přirozených čísel je podmnožinou množiny celých čísel.
ℕ ⸦ ℤ
Přečtěte si také: Operace s celými čísly - jaké jsou a jak vypočítat?
množina racionálních čísel
Ó sada racionálních čísel é představuje symbol ℚ a není reprezentován číselnou posloupností. Tato sada se skládá ze všech čísel, která lze reprezentovat jako zlomek. Zastupujeme jeho prvky následovně:
Víme, že každé celé číslo může být reprezentováno a zlomek, to znamená, že množina celých čísel je obsažena v množině racionálních čísel, proto množina celých čísel je podmnožinou racionálních.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Čísla, která mají nekonečné zastoupení, například periodické desátky, mají také zastoupení ve formě zlomku, takže jsou také racionální.
Přečtěte si také: Operace s frakcemi - krok za krokem, jak je vyřešit
Sada iracionálních čísel
Jak jsme viděli, číslo je racionální, pokud ho lze zapsat jako zlomek. Rovněž bylo řečeno, že nekonečná a periodická čísla jsou racionální, nicméně existují některá čísla nelze zapsat ve formě zlomku a které proto nepatří do množiny racionálních čísel.
Tato neracionální čísla se nazývají iracionální a jako hlavní vlastnosti mají nekonečno desítkové části a ne-frekvence, tj. žádné číslo v desítkové části se neopakuje. Podívejte se na několik příkladů iracionální čísla.
- Příklad 1
Druhé odmocniny čísel, která nejsou dokonalými čtverci.
- Příklad 2
Konstanty pocházející ze zvláštních důvodů, jako je zlaté číslo, Eulerovo číslo nebo Pi.
Sada reálných čísel
Ó množina reálných čísel je reprezentován symbolem ℝ a je tvořen jednotamnožiny racionálních čísel se sadou iracionálních čísel. Pamatujte, že množina racionálních je spojením přirozených a celočíselných množin.
Když uspořádáme reálná čísla na řádku, máme za to, že počátek nuly je počátek řádku, napravo od nuly budou kladná čísla a vlevo záporná čísla.
Protože tato osa je skutečná, můžeme říci, že mezi dvěma čísly jsou nekonečná čísla a také, že tato osa je nekonečná jak v pozitivní směr když v negativní směr.
Sada komplexních čísel
Ó sada komplexních čísel to je poslední a vzniklo ze stejného důvodu jako množina celých čísel, to znamená, že se jedná o operaci, jejíž vývoj pouze se sadou realit není možný.
Při řešení následující rovnice zjistíme, že nemá řešení, protože zná pouze reálná čísla.
X2 + 1 = 0
X2 = –1
Všimněte si, že musíme najít číslo, které když povýšitdÓ na druhou, vede k zápornému číslu. Víme, že jakékoli číslo na druhou je vždy kladné, proto tento výpočet nemá žádné skutečné řešení.
Tak byla vytvořena komplexní čísla, ve kterých máme a imaginární číslo označeno i, který má následující hodnotu:
Uvědomte si tedy, že rovnice že předtím neměla žádné řešení, nyní je má. Překontrolovat:
Přečtěte si více: Vlastnosti zahrnující komplexní čísla
skutečné intervaly
V některých případech nebudeme používat každou skutečnou osu, to znamená, že použijeme její části, které se budou volat přestávky. Tyto intervaly jsou podmnožiny množiny reálných čísel. Dále vytvoříme několik notací pro tyto podmnožiny.
Uzavřený rozsah - bez zahrnutí extrémů
Interval je uzavřen, když je má své dva extrémy, tj. minimum a maximum, a v tomto případě extrémy nepatří do rozsahu. Označíme to pomocí otevřené koule. Dívej se:
Červeně jsou čísla, která patří do tohoto rozsahu, to znamená, že jsou to čísla větší než a a menší než b. Algebraicky takový interval zapíšeme následovně:
< X
Kde číslo x je všechna reálná čísla, která jsou v tomto rozsahu. Můžeme to také reprezentovat symbolicky. Dívej se:
] The; B [ nebo ( B)
Uzavřený rozsah - včetně extrémů
Nyní k tomu použijeme uzavřené koule extrémy patří do rozsahu.
Takže sbíráme reálná čísla, která jsou mezi a a b, včetně nich. Algebraicky takový interval vyjádříme:
the ≤ Xb
Pomocí symbolické notace máme:
[The; B]
Uzavřený rozsah - včetně jednoho z extrémů
Stále se zabýváme uzavřenými intervaly, nyní máme případ, kdy je zahrnut pouze jeden z extrémů. Proto se jeden z kuliček zavře, což znamená, že číslo patří do rozsahu, a druhý ne, což znamená, že číslo do tohoto rozsahu nepatří.
Algebraicky reprezentujeme tento rozsah takto:
the ≤ X
Symbolicky máme:
[The; B [ nebo [The; B)
Otevřený rozsah - není zahrnut žádný konec
Rozsah se otevře, když nemá maximální nebo minimální prvek. Nyní uvidíme případ otevřeného rozsahu, který má pouze maximální prvek, který není zahrnut v rozsahu.
Podívejte se, že rozsah se skládá z reálná čísla menší nežB, a také si to povšimněte číslo b, které nepatří do rozsahu (otevřená koule), takže algebraicky můžeme interval reprezentovat:
X
Symbolicky to můžeme reprezentovat:
] – ∞; B [ nebo (– ∞; B)
Otevřený rozsah - včetně extrémů
Dalším příkladem otevřeného rozsahu je případ, kdy je zahrnut extrém. Zde máme rozsah, ve kterém se objeví minimální prvek, viz:
Všimněte si, že všechna reálná čísla jsou větší nebo rovna číslu a, takže můžeme tento rozsah napsat algebraicky pomocí:
Xna
Symbolicky máme:
[The; +∞[ nebo [The; +∞)
otevřený rozsah
Další případ otevřeného dosahu tvoří čísla větší a menší než čísla opravená na skutečné linii. Dívej se:
Všimněte si, že skutečná čísla, která patří do tohoto rozsahu, jsou ta, která jsou menší nebo rovna číslu a, nebo ta, která jsou větší než číslo b, takže musíme:
X na neboX > b
Symbolicky máme:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
nebo
(– ∞; a] U (b; + ∞)
Robson Luiz
Učitel matematiky
