Inverzní matice: co to je, jak najít cvičení

Koncept inverzní matice se velmi blíží konceptu inverzní funkce čísla. Pamatujme, že inverzní k číslu Ne je číslo Ne^-1kde produkt mezi těmito dvěma se rovná neutrálnímu prvku násobení, tj. číslo 1. Již inverzní matice M je matice M.^-1, kde je produkt M · M^-1 se rovná matici identity I_Ne, což není nic jiného než neutrální prvek násobení matic.

Aby matice měla inverzi, musí být čtvercová a její determinant se navíc musí lišit od nuly, jinak inverze nebude. K nalezení inverzní matice použijeme maticovou rovnici.

Přečtěte si také: Trojúhelníková matice - speciální typ čtvercové matice

Aby matice měla inverzi, musí být čtvercová.

matice identity

Abychom pochopili, co je inverzní matice, je nejprve nutné znát matici identity. Jako matici identity známe čtvercovou matici I_Ne kde všechny prvky hlavní úhlopříčky jsou rovny 1 a ostatní členy jsou rovny 0.

THE matice identity je neutrální prvek násobení mezi maticemi., to znamená, že sídlo společnosti M řádu n, součin mezi maticí M a maticí I_Ne se rovná matici M.

M · I_Ne = M.

Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)

Jak vypočítat inverzní matici

Chcete-li najít inverzní matici M, je nutné vyřešit maticovou rovnici:

 M · M^-1 = Já_Ne

Příklad

Najděte inverzní matici M.

Protože neznáme inverzní matici, představme tuto matici algebraicky:

Víme, že součin mezi těmito maticemi musí být stejný jako já₂:

Nyní pojďme vyřešit maticovou rovnici:

Je možné rozdělit problém na dva systémy rovnice. První používá první sloupec matice M · M^-1 a první sloupec matice identity. Musíme tedy:

Abychom systém vyřešili, izolujme₂₁ v rovnici II a dosaďte v rovnici I.

Dosazením do rovnice I musíme:

Jak zjistíme hodnotu a₁₁, pak zjistíme hodnotu a₂₁:

Znát hodnotu a₂₁ a₁₁, nyní zjistíme hodnotu ostatních výrazů nastavením druhého systému:

izolace₂₂ v rovnici III musíme:

3. místo₁₂ + 1₂₂ = 0

The₂₂ = - 3₁₂

Dosazení do rovnice IV:

5₁₂ + 2₂₂ =1

5₁₂ + 2 · (- 3₁₂) = 1

5₁₂ - 6.₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

The₁₂ = – 1

Znát hodnotu a₁₂, najdeme hodnotu a₂₂ :

The₂₂ = - 3₁₂

The₂₂ = – 3 · ( – 1)

The₂₂ = 3

Nyní, když známe všechny pojmy matice M.^-1, je možné jej reprezentovat:

Přečtěte si také: Sčítání a odčítání matic

Vlastnosti inverzní matice

Existují vlastnosti, které vyplývají z definování inverzní matice.

• 1. vlastnost: inverze matice M^-1 se rovná matici M. Inverzní inverzní matice je vždy samotná matice, tj. (M^-1)^-1 = M, protože víme, že M^-1 · M = já_Ne, proto M^-1 je inverzní k M a také M je inverzní k M^-1.
• 2. vlastnost: inverze matice identity je sama o sobě: I^-1 = I, protože produkt matice identity sám o sobě vede k matici identity, tj. I_Ne · Já_Ne = Já_Ne.
• 3. vlastnost: inverzní k produkt dvou maticjsi ty se rovná součinu inverzí:

(M × H)^-1 = M.^-1 · A^-1.

• 4. vlastnost: čtvercová matice má inverzní právě tehdy, když je určující se liší od 0, tj. det (M) ≠ 0.

vyřešená cvičení

1) Vzhledem k tomu, matice A a matice B, s vědomím, že jsou inverzní, pak hodnota x + y je:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Řešení:

Alternativní d.

Sestavení rovnice:

A · B = I 

Ve druhém sloupci, který se rovná podmínkám, musíme:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Izolace x do I:

Výměna rovnice II, musíme:

Známe-li hodnotu y, najdeme hodnotu x:

Nyní vypočítáme x + y:

otázka 2

Matice má inverzní pouze tehdy, když je její determinant odlišný od 0. Při pohledu na níže uvedenou matici, jaké jsou x hodnoty, díky nimž matice nepodporuje inverzní funkce?

a) 0 a 1.

b) 1 a 2.

c) 2 a - 1.

d) 3 a 0.

e) - 3 a - 2.

Řešení:

Alternativa b.

Při výpočtu determinantu A chceme hodnoty, kde det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

řešení Rovnice 2. stupně, Musíme:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky

Chcete odkazovat na tento text ve školní nebo akademické práci? Dívej se:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Inverzní matice"; Brazilská škola. K dispozici v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm. Zpřístupněno 28. června 2021.

Druhy matic

Matice, typ matic, pořadí matic, řádková matice, sloupcová matice, nulová matice, matice čtverec, Diagonální matice, Matice identity, Opačná matice, Matice, Rovná matice, Rovnost matice.