Вътрешен продукт между два вектора

О точков продукт между два вектора е реално число, което свързва величината на тези вектори, т.е. тяхната дължина и ъгъла между тях. Следователно за изчисляването му е необходимо да се знаят техните дължини и ъгълът, който образуват.

Използвайки равнината като основа, вектор показва местоположение, интензитет, посока и посока. Следователно, той се използва при изучаването на механика (физика) като представител на сила, приложена върху обект.

Обичайното представяне на вектора е стрелка, която завършва в точка. За координатите на тази точка се казва, че са координатите на вектора, започвайки от точка O (0,0). Пишем v = (a, b), за да го представим. По този начин векторът v = (1,2) се изчертава, както следва:

Пример за вектор, започвайки от произхода

За да изчислите дължината на този вектор, разгледайте правоъгълния триъгълник, образуван от него, и неговата проекция върху оста x (или оста y), както е показано на следващата фигура:

Дължина на вектора v

Извиква се дължината на вектор v v векторна норма

или вектор модул v и се представлява от | v |. Обърнете внимание, че нормата на вектора v = (a, b) е точно мярката на хипотенузата на триъгълника, представена на фигурата по-горе. За да изчислим тази мярка, използваме питагорейската теорема:

| v |² =² + b²

| v | = √ (а² + b² )

Двувекторен продукт

Като се имат предвид два вектора u и v, вътрешното произведение между тях е представено от и се определя като:

= | u || v | · cosθ

Това е вид умножение между два вектора, но не се нарича продукт, тъй като не е често умножение, тъй като включва ъгъла, образуван от тези два вектора.

Ъгъл между два вектора

Първият резултат, произтичащ от горната дефиниция, е ъгълът между два вектора. С реалните числа „точков продукт“, „u векторна норма“ и „v векторна норма“ е възможно да се изчисли ъгълът между векторите u и v. За да направите това, просто извършете изчисленията:

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

Следователно, разделяйки вътрешния продукт на нормите на векторите u и v, намираме реалното число, отнасящо се до косинуса между тези два вектора и, следователно, ъгъла между тях.

Имайте предвид, че ако ъгълът между два вектора е прав, cosθ е равен на нула. Следователно горният продукт ще има следния резултат:

= 0

От това може да се заключи, че като се имат предвид два вектора u и v, те ще бъдат ортогонални, ако = 0.

Вътрешен продукт, изчислен от векторни координати

Като се имат предвид двата вектора u = (a, b) и v = (c, d), точковото произведение между u и v се дава от:

= = a · c + b · d

Вътрешни свойства на продукта

Като се имат предвид векторите u, v и w и реалното число α, обърнете внимание:

и) =

Това означава, че вътрешният продукт на векторите е „комутативен”.

ii) = +

Това свойство е сравнимо с разпределимостта на умножението върху събирането.

iii) = = α

Изчисляването на вътрешния продукт между u и v, умножено по реалното число α, е същото като изчисляването на вътрешния продукт между αv и u или между v и αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Вътрешното произведение на v с v е само нула, ако v е нулевият вектор.

v) ≥ 0 за всички v.

Вътрешното произведение на v с v винаги ще бъде по-голямо или равно на нула.

От Луис Пауло Морейра
Завършва математика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm