НА обиколка е плоска геометрична фигура, образувана от обединение на равнопоставени точки, тоест имат еднакво разстояние от неподвижна точка, наречена център. Изследването на обиколката също присъства в аналитична геометрия, в който е възможно да се изведе уравнение, което го представлява.
въпреки че кръг и обиколка са плоски геометрични фигури с някои общи елементи, което обикновено води до съмнения, тези фигури представляват важни разлики, особено по отношение на размерността.
Прочетете също: Разстояние между две точки - важна концепция за аналитична геометрия
елементи на кръга
Обърнете внимание на обиколката:
Точката ° С нарича се център на кръга, и отбележете, че точки A и B принадлежат към него. Сегментът, който свързва краищата на кръга, преминаващ през центъра, се нарича диаметър. В предишната обиколка тогава трябва диаметърът е сегментът AB.
Към разделете диаметъра наполовина, нека вземем радиуса на обиколката, т.е. радиус (r) на окръжност това е сегментът, който свързва центъра и края. В този случай радиусът е сегментът CB. Можем да установим математическа връзка между тези два елемента, тъй като диаметърът е два пъти по-голям от радиуса.
d = 2 · r
Пример
Определете радиуса на кръг с диаметър 40 cm.
Знаем, че диаметърът е два пъти по-голям от радиуса, по следния начин:
дължина на обиколката
Помислете за окръжност, която има радиус, измерващ r. О дължина или периметър на обиколката се дава от произведението на ° Спостоянен pi (π) с удвоен радиус.
Когато изчисляваме дължината или периметъра на кръг, ние определяме размера на линията зелено в предишния чертеж и за да направите това, просто заменете стойността на радиуса във формулата, която продължава фигура.
Пример
Определете дължината на обиколката на радиус 5 cm.
Радиусът на кръга е равен на 5 см, така че за да определим дължината на кръга, трябва да заместим тази стойност във формулата.
C = 2πr
C = 2 (3.14) (5)
С = 6,24,5
С = 31,2 cm
Вижте също: Изграждане на вписани полигони
площ на обиколката
Да разгледаме кръг с радиус r. За да изчислим вашата площ, трябва умножете квадрата на стойността на радиуса по π.
Когато изчисляваме площта на кръга, ние определяме повърхностната мярка, т.е. цялата област вътре в кръга.
- Пример
Определете площта на кръг, чийто радиус е равен на 4 cm.
Имаме, че радиусът на обиколката е равен на 4 см, така че можем да заместим тази мярка във формулата за площта. Виж:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 16
H = 50,24 cm2
Уравнение с намалена обиколка
Знаем, че може да се изгради кръг събиране на точки, които имат еднакво разстояние от фиксирана точка, наречена начало или център. Така че, помислете за фиксирана точка в Декартова равнина O (a, b). Наборът от точки - представени от P (x, y) - които са на същото разстояние r от тази неподвижна точка, ще образува кръг с радиус r.
Обърнете внимание, че точките от формата P (x, y) са на едно и също разстояние от точка O (a, b), т.е. разстоянието между точките O и P е равно на радиуса на окръжността, поради това:
В намалено уравнение, имайте предвид, че цифрите The и Б. са координатите на центъра на окръжността и това r е мярката на радиуса.
- Пример
Определете координатите на центъра и мярката на радиуса на окръжността, която има уравнение:
а) (х - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Сравнявайки това уравнение с приведеното уравнение, имаме:
(х - The)2 + (y - Б.)2 = r2
(х - 2)2 + (y -6)2 = 36
Вижте, че a = 2, b = 6 и r2 = 36. Единственото уравнение за решаване е:
r2 = 36
r = 6
Следователно координатата на центъра е: O (2, 6), а дължината на радиуса е 6.
б) (х - 5)2 + (y + 3)2 = 121
По същия начин имаме:
(х - The)2 + (y - Б.)2 = r2
(х - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Докато стойността на радиуса се дава от:
r2 = 121
r = 11
в) х2 + у2 = 1
(х - The)2 + (y - Б.)2 = r2
х2 + у2 = 1
Обърнете внимание, че x2 = (x + 0)2 и у2 = (y + 0)2 . Така че трябва да:
(х - The)2 + (y - Б.)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Следователно координатата на центъра е O (0, 0), а радиусът е равен на 1.
Също така достъп: Как да намерим центъра на кръг?
общо уравнение на окръжността
За да определим общото уравнение на окръжността, трябва разработване на намалено уравнение нея. По този начин, помислете за кръг, който има център в координатите O (a, b) и радиус r.
Първоначално ще разработим условията на квадрат, използвайки забележителни продукти; след това ще предадем всички числа на първия член; и накрая ще се присъединим към термините със същия буквален коефициент, тоест тези със същите букви. Виж:
Пример
Определете координатите на центъра и средния радиус на окръжността, която има уравнение:
а) х2 + у2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
За да определим радиуса и координатите на окръжността, която има това уравнение, трябва да го сравним с общото уравнение. Виж:
х2 + у2 – 2-рих - 2бy + The2 + Б.2 –r2 = 0
х2 + у2 – 4х - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
От сравненията в зелено трябва да:
2-ро = 4
a = 2
или
The2 = 4
a = 2
От сравненията в червено имаме, че:
2b = 6
b = 3
или
Б.2 = 9
b = 3
По този начин можем да кажем, че центърът има координата O (2, 3). Сега, сравнявайки стойността на r, имаме:
r2 = 49
r = 7
Следователно радиусът на кръга има дължина, равна на 7.
б) х2 + у2 - 10x + 14y + 10 = 0
По подобен начин, нека сравним уравненията:
х2 + у2 – 2-рих - 2бy + The2 + b2 - r2 = 0
х2 + у2 –10х + 14y + 10 = 0
2-ро = 10
a = 5
Определяне на стойността на b:
–2b = 14
b = - 7
Обърнете внимание сега, че:
The2 + b2 - r2 = 10
Тъй като знаем стойностите на a и b, можем да ги заместим във формулата. Виж:
The2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - р2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Следователно координатите на центъра са O (5, –7) и радиусът има дължина, равна на 8.
Разлики между обиколката и кръга
Разликата между кръг и кръг се отнася до брой измерения на всеки елемент. Докато кръгът има едно измерение, кръгът има две.
Кръгът е област в равнината, образувана от точки, еднакво отдалечени от неподвижна точка, наречена начало. Кръгът се състои от всеки регион в кръга. Вижте разликата в изображенията:
Вижте също:дължина на обиколката и площ на кръга
решени упражнения
Въпрос 1 - Периметърът на периметъра е равен на 628 cm. Определете диаметъра на този кръг (приемете π = 3,14).
Резолюция
Тъй като периметърът е равен на 628 cm, можем да заместим тази стойност в израза за дължина на обиколката.
въпрос 2 - Два кръга са концентрични, ако имат един и същ център. Знаейки това, определете площта на празната фигура.
Резолюция
Имайте предвид, че за да определим площта на региона в бяло, трябва да определим площта на по-големия кръг и след това на по-малкия кръг в синьо. Също така имайте предвид, че ако премахнем синия кръг, остава само регионът, който искаме, така че трябва да извадим тези области. Виж:
НАПО-ГОЛЯМО = r2
НАПО-ГОЛЯМО = (3,14) · (9)2
НАПО-ГОЛЯМО = (3,14) · 81
НАПО-ГОЛЯМО = 254,34 см2
Нека сега изчислим площта на синия кръг:
НАПО-МАЛКО = r2
НАПО-МАЛКО = (3,14) · (5)2
НАПО-МАЛКО = (3,14) · 25
НАПО-МАЛКО = 78,5 см2
По този начин празното пространство се дава от разликата между по-голямата и по-малката площ.
НАБЯЛ = 254,34 – 78,5
НАБЯЛ = 175,84 см2
от Робсън Луиз
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm