Многогранници (от латински поли - много - и хедрон - лице) са фигуритриизмерни образуван от обединението на правилни многоъгълници, при което многоъгълните ъгли са съвпадащи. Обединението на тези полигони образува елементи, които изграждат многогранника, те са: върхове, ръбове и лица. Въпреки това, не всяка триизмерна фигура е многоъгълник, пример за това са фигури, които се наричат извити лица кръгли тела.
Има математическа формула, която свързва елементите на многоъгълник, наречен Връзката на Ойлер. Освен това многогранниците се разделят на две групи: така наречените многогранници изпъкнал и не изпъкнали. Някои многогранници заслужават специално внимание, те се наричат Многогранниците на Платон: тетраедър, хексаедър, октаедър, додекаедър и икозаедър.
Прочетете също: Разлики между плоски и пространствени фигури
изпъкнали многогранници
Многогранник ще бъде изпъкнал, когато се образува от многоъгълници изпъкнал, така че да се приемат следните условия:
- два от полигоните Никога те са копланарни, тоест не принадлежат към една и съща равнина.
- Всяка страна на един от тези полигони принадлежи само на два полигона.
- Равнината, която съдържа някой от тези многоъгълници, оставя останалите полигони в същото полупространство.
Прочетете също:Сума от вътрешни и външни ъгли на изпъкнал многоъгълник
Елементи на изпъкнал многоъгълник
Помислете за този изпъкнал многоъгълник:
Вие четириъгълници на фигурата се наричат лица на многогранника.
Вие петоъгълници са лицата и основата на многогранника, който е наречен петоъгълен основен полиедър.
Извикват се сегментите, които образуват всяко от лицата ръбове на многогранника.
Извикват се точките, където се срещат ръбовете върхове.
Ще бъде извикан линейният сегмент JC диагонал на многогранника, обозначен с:
JC е един от диагоналите, разбираме диагонал на многогранника като битие отсечката от права, която обединява два върха, които не принадлежат към едно и също лице.
Имаме и многоъгълния ъгъл, оформен между краищата, обозначен с:
Многогранен ъгъл се нарича a триедричен Кога три ръбовете произхождат от връх. По същия начин се нарича тетраедричен, случай четири ръбовете произхождат от връх и т.н.
Отсега нататък ще установим някои обозначения, те са:
Знам повече: Планиране на геометрични тела
Свойства на изпъкнал многоъгълник
Собственост 1
Сумата от ръбовете на всички лица е равна на два пъти броя на ребрата на многогранника.
Пример
Многогранник има 6 квадратни лица. Нека определим броя на ръбовете.
Според свойството просто умножете броя на ръбовете на лице по броя на лицата и това е равно на два пъти броя на ръбовете. Поради това:
Собственост 2
Сумата от върховете на всички лица е равна на сумата от ръбовете на всички лица, която е равна на два пъти броя на ребрата.
Пример
Многогранник с 5 тетраедрични ъгъла и 4 шестоъгълни ъгъла. Нека определим броя на ръбовете.
Аналогично на предишния пример, второто свойство казва, че сумата от ръбовете на всички лица е равна на два пъти броя на ръбовете. Броят на ръбовете се дава от произведението 5 на 4 и 4 на 6, тъй като те са 5 тетраедрични и 4 шестоъгълни ъгъла. Поради това:
Вдлъбнати (не изпъкнали) многогранници
Многоъгълникът е неизпъкнал или вдлъбнат, когато вземем две точки на различни лица и права r което съдържа тези точки, не всичко се съдържа в многогранника.
Имайте предвид, че правата линия (в синьо) не е пълна в многогранника, така че многогранникът (в розово) е вдлъбнат или не изпъкнал.
правилни многогранници
Казваме, че многогранник е редовен кога лицата ви са правилни полигони равни помежду си и с многоъгълните ъгли еднакви.
Вижте няколко примера:
Забележете, че всичките ви лица са правилни полигони. Лицата му са оформени от квадратчета, а ръбовете са сходни, тоест имат една и съща мярка.
Прочетисъщо: Какво представляват правилните и изпъкнали полигони?
Връзката на Ойлер
Също известен като Теорема на Ойлер, резултатът е доказан от Leonhard Euler (1707 - 1783) и гарантира, че през всички затворени изпъкнали многогранници следното отношение е валидно:
Полиедрите на Платон
Всеки многоъгълник, който отговаря на следните условия, се нарича многогранник на Платон:
Релацията на Ойлер е валидна
Всички лица имат еднакъв брой ръбове
Всички полиедрични ъгли имат еднакъв брой ръбове
Доказано е, че има само пет правилни и изпъкнали многогранници, или многогранниците на Платон, те са:
правилен тетраедър
тетраедърът има 4 триъгълни лица конгруентни и 4 триъгълни ъгъла конгруентна.
правилен хексаедър
хексаедърът има 6 квадратни лица конгруентни и 8 триъгълни ъгли конгруентна.
правилен октаедър
октаедърът има 8 триъгълни лица конгруентни и 6 тетраедрични ъгли конгруентна.
правилен додекаедър
додекаедърът има 12 петоъгълни лица конгруентни и 20 ъгълатриедричен конгруентна.
правилен икосаедър
Икосаедърът има 20 триъгълни лица конгруентни и 12 пентаедрични ъгли конгруентна.
решени упражнения
1) (Enem) Бижуто беше изрязано под формата на изпъкнал многоъгълник с 32 лица, 20 от които са шестоъгълници, а останалите са петоъгълни. Това бижу ще бъде подарък за дама, която празнува рождения си ден, навършвайки възраст, чийто брой е броят на върховете на този многогранник. Тази дама завършва:
а) 90 години
б) на 72 години
в) на 60 години
г) на 56 години
д) на 52 години
Решение:
Дава собственост 1 на изпъкнали многогранници знаем, че:
Сега как знаем броя на ръбовете това е брой лица, можем да използваме релацията на Ойлер.
Тъй като възрастта, която навършвате, е равна на броя на върховете, това е 60 години. Алтернатива c.
2) (PUC-SP) Колко ръбове има изпъкнал многоъгълник с триъгълни лица, където броят на върховете е три пети от броя на лицата?
а) 60
б) 30
в) 25
г) 20
д) 15
Решение:
От свойствата на изпъкнал многоъгълник и изявлението за упражнението имаме:
Замествайки тези стойности в релацията на Ойлер, имаме следното:
От организирането на предишното уравнение и решаването на уравнението във F следва, че:
Замествайки стойността на броя лица, намерени в уравнението на ръбовете, ще имаме:
Алтернатива b
от Робсън Луиз
Учител по математика