Когато изучаваме многогранници, попадаме на Твърдите вещества на Платон като частен случай. За да бъде твърдо вещество на Платон, многогранникът трябва да отговаря на три условия:
да е изпъкнала;
всички лица имат еднакво количество ръбове;
всички върхове са краища с еднакъв брой ръбове.
Няколко философи се опитаха да разберат произхода на Вселената и Платон го видя пространствена геометрия обяснението за този произход. Твърдите вещества на Платон са:
тетраедър;
хексаедър;
октаедър;
додекаедър;
икозаедър.
Всички те се считат за правилни полигони, тъй като техните ръбовете и лицата им са съвпадащи. Твърдите вещества на Платон уважават Връзката на Ойлер, който изброява броя на върховете, лицата и ръбовете по формулата V + F = A + 2.
Прочетете също: Какви са разликите между плоските и пространствените фигури?
правилни многогранници
Търсенето на обикновени многогранници се повтаря, тъй като с тях се работи по-лесно. Многогранникът се класифицира като редовен, ако е има всички лица, образувани от едно и също многоъгълник конгруентна
. Когато това се случи, ъгли и ръбовете също са конгруентни.Твърдите тела на Платон са частни случаи на правилни многогранници. Например кубът, който е твърдо вещество на Платон, има всичките си лица, образувани от конгруентни квадратчета. От петте твърди части на Платон, три са образувани от триъгълни лица с конгруентни триъгълници, едното е образувано от квадратни лица, а другото е образувано от петоъгълни лица.
Какви са твърдите вещества на Платон?
Платон беше гръцки философ и математик. Той направи голям принос в математиката и, опитвайки се да разбере Вселената, свързани твърди частици с природни елементи.
За да бъде платонично твърдо вещество, полиедърът трябва да бъде правилни и изпъкнали. Има само пет твърди вещества, които отговарят на това определение. Те са: тетраедърът, кубът или хексаедърът, октаедърът, икосаедърът и додекаедърът.
Връзката между елемента на природата и твърдото тяло беше:
тетраедър - огън
хексаедър - Земята
октаедър - въздух
икозаедър - Вода
додекаедър - Космо или Вселена
За да бъдеш твърд на Платон, О многогранник също трябва да е изпъкнал, всички лица трябва да имат еднакъв брой ръбове и всички върхове трябва да бъдат краища на един и същ брой ръбове.
Вижте също: Калдъръм - геометрични твърди тела, образувани от плоски и многоъгълни повърхности
правилен тетраедър
Правилният тетраедър е многоъгълник, който има 4 лица, което оправдава името му (тетра = четири). всичките ви лица са образувани от триъгълници. Той е оформен като пирамида с триъгълна основа и е известна като пирамида с правилна основа, тъй като всичките й лица са сходни. Той има общо 4 лица (във формата на равностранен триъгълник), 4 върха и 6 ръба.
Ако искате да изградите свой собствен редовен тетраедър, просто изтеглете и отпечатайте PDF файла тук.
Редовен куб или хексаедър
правилния хексаедър има 6 лица, което оправдава името му (шестнадесетичен = шест). лицата ви са всички квадрат. Известен е още като куб и има 6 лица, 12 ръба и 8 върха.
Ако искате да изградите свой собствен куб, просто изтеглете и отпечатайте PDF файла тук.
Октаедър
Подобно на предишните, името е свързано с броя на лицата, следователно октаедърът има 8 лица. Тези лица имат форма на равностранен триъгълник. Октаедърът има 8 лица, 12 ръба и 6 върха.
Ако искате да изградите свой собствен октаедър, просто изтеглете и отпечатайте PDF файла тук.
икозаедър
Икосаедърът има общо 20 лица. Лицата им са оформени като равностранен триъгълник, точно като октаедъра. Той има общо 20 лица, 30 ръба и 12 върха.
Ако искате да изградите свой собствен икосаедър, просто изтеглете и отпечатайте PDF файла тук.
Додекаедър
Додекаедърът е последното от твърдите тела на Платон. Той има общо 12 лица и се счита за по-хармонично сред петте платонови твърди тела. Лицата им имат формата на петоъгълници. Той разполага с 12 лица, 30 ръба и 20 върха.
Ако искате да изградите свой собствен додекаедър, просто изтеглете и отпечатайте PDF файла тук.
Също така достъп: Цилиндър - геометрично твърдо вещество, образувано от две успоредни кръгли повърхности и в различни равнини
Формулата на Ойлер
Еулеровите полиедри са изпъкнали полиедри. Ойлер разработи формула, която свързва броя на лицата (F), броя на върховете (V) и броя на ръбовете (A) в изпъкнал многоъгълник. Всички твърди частици на Платон отговарят на отношението на Ойлер.
V + F = A + 2 |
Анализирайки формулата, тогава е възможно да се изчисли броят на върховете от броя на лицата и ръбовете или броят на лицата от броя на върховете и ръбовете, накратко, познавайки два от елементите му, винаги е възможно да се намери третият.
Пример:
Знаейки, че многогранник има 8 върха и 12 ребра и че е правилен, колко лица има?
Знаем, че V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
решени упражнения
Въпрос 1 - (Enem 2016) Твърдите тела на Платон са изпъкнали многогранници, чиито лица са съвпадащи с един многоъгълник правилни, всички върхове имат еднакъв брой падащи ръбове и всеки ръб се споделя само от двама. лица. Те са важни например при класифицирането на формите на минерални кристали и при развитието на различни обекти. Подобно на всички изпъкнали многогранници, твърдите частици на Платон спазват отношението на Ойлер V - A + F = 2, където V, A и F са броят на върховете, ръбовете и лицата на полиедъра, съответно.
В кристал, чиято форма е на многоъгълника на Платон с триъгълно лице, каква е връзката между броя на върховете и броя на лицата?
А) 2V - 4F = 4
Б) 2V - 2F = 4
В) 2V - F = 4
Г) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Резолюция
Алтернатива В. Тъй като лицата са триъгълни, знаем, че за всяко лице има 3 ръба. Въпреки това, за да свържете броя на ръбовете с броя на лицата, е важно да запомните, че всеки ръб се съдържа на две лица, защото срещата на две лица образува ръб, така че в този случай можем да свържем ръб с лице на:
Като имаме отношението на Ойлер като V - A + F = 2 и заместваме A, трябва:
Въпрос 2 - От алтернативите по-долу преценете коя не е твърдост на Платон.
А) Куб
Б) Редовен тетраедър
В) Икозаедър
Г) Додекаедър
Д) Конус
Резолюция:
Алтернатива Е. От алтернативите единственият, който не отговаря на твърдо вещество на Платон, е конус.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm