Вие паралелограми са полигони на равнинна геометрия широко изследван за често срещани геометрични фигури в нашето ежедневие. Определяме успоредник като многоъгълник, който има противоположни страни успоредни, характеристика, която води до ексклузивни свойства.
Частните случаи на паралелограми са квадрати, правоъгълници и диаманти. За всеки от тези полигони има специфични формули за изчисляване на площ и периметър.
Прочетете също: Кръг и обиколка - геометрични фигури с много характеристики
Елементи на успоредник
За да бъде успоредник, многоъгълник трябва да има противоположни страни успоредно. Като специфични характеристики трябва да:
Всеки паралелограм е съставен от четири страни, а противоположните страни са паралели.
Всеки паралелограм има четири вътрешни ъгъла, а сума от тези ъгли винаги е равно на 360º.
Всеки паралелограм има два диагонала.
Не забравяйте, че паралелограмите са частни случаи на четириъгълници, така че има характеристики, които са наследени от тези геометрични фигури, като съществуването на два диагонала, четири страни и четири ъгъла, както и сумата от вътрешния и външния ъгъл винаги е равна на 360º.
Свойства на успоредник
1-ви имот: Противоположните страни на паралелограма са конгруентни, тоест имат една и съща мярка.
2-ри имот: Противоположните ъгли на успоредник са съвпадащи и два последователни ъгъла винаги са допълващи (сумата е равна на 180 °).
Знаейки, че AB и CD са успоредни, тогава страните BC и AD са напречни на AB и CD; следователно, ъгли образувани (w и x) са допълващи, тъй като са вътрешни странични ъгли. Освен това е възможно да се докаже, че ъгли x и z са съвпадащи.
- 3-ти имот: Диагоналите на успоредник се изрязват наполовина.
Когато изчертаем двата диагонала на успоредник, точката на срещата ги разделя на средните му точки.
AM = CM
BM = DM
Вижте също: Точка, линия, равнина и пространство: основни концепции на геометрията
Площ на успоредник
Площта на успоредник, като цяло, се изчислява от произведението на основата и височината. Има частни случаи (правоъгълници, диаманти и квадрати), които имат специфични формули - те ще бъдат представени в целия текст - но произтичат от общата форма.
A = b.h
b: основа
h: височина
Периметър на успоредник
О периметър се дава от сума от всички страни. Тъй като паралелограмът обикновено има две равни страни, периметърът му може да бъде определен от:
P = 2 (a + b)
Специални случаи на паралелограми
Както знаем, по дефиниция, за да бъде успоредник, многоъгълникът трябва да има успоредни страни. Има три четириъгълника, които се третират като частни случаи на паралелограма: правоъгълник, диамант и квадрат.
Квадрат
ние се обаждаме квадрат четиристранен многоъгълник, който има четири страни и четири еднакви ъгъла - всеки ъгъл е точно 90 градуса. Тъй като квадратът е успоредник, всички свойства са валидни за квадрата.
Площта на един квадрат и неговият периметър се изчисляват подобно на това, което се прави с успоредник, но тъй като всички страни на квадрата са равни, можем да представим площта и периметъра на квадрата така:
A = l²
Р = 4.1
Правоъгълник
О правоъгълник това е паралелограм, който има всички конгруентни ъгли. Получава това име, защото всичките ви ъгли са прави, т.е. четирите ъгъла измерват 90º. Площта на правоъгълника е идентична с площта на паралелограма, но можем да третираме вертикалната страна като височина, в края на краищата тя е перпендикулярна на основата.
A =а.б
P = 2 (a + b)
Диамант
О диамант това е паралелограм, който има всичките си страни еднакви. Имайте предвид, че няма ограничение за ъглите, те могат да бъдат различни или не. За разлика от предишните примери, изчисляването на площта на диаманта се основава на неговите диагонали. Съществува и много важна връзка между диагоналите на диаманта и неговата страна.
D: по-голям диагонал
г: малък диагонал
l: страна
При всеки диамант знаем, че диагоналите се пресичат в средната точка, образувайки четири правоъгълни триъгълника. Анализирайки един от тези триъгълници, е възможно да видите a Питагорова връзка между страната и половината на всеки от диагоналите.
Също така достъп: дължина на обиколката и площ на кръга
Връзка между паралелограмите
Важно е да разберете добре дефиницията на паралелограма, така че да няма усложнения по време на класификацията. Винаги е добре да запомните, че всеки паралелограм е четириъгълник, но не всеки четириъгълник е успоредник.
Също така можем да заявим, че всеки правоъгълник, всеки квадрат и всеки ромб са успоредници. Освен това, сравнявайки специалните случаи на паралелограми, можем да видим друга връзка, тъй като квадратът той има конгруентни ъгли, което е дефиницията на правоъгълник, а също и конгруентни страни, което е дефиницията на диамант. Като следствие можем да кажем това всеки квадрат е правоъгълник, а също и диамант.
решени упражнения
Въпрос 1 - Знаейки, че фигурата по-долу е успоредник, каква ще бъде стойността на x, y и z съответно?
а) 40 140 и 180
б) 30, 100 и 100
в) 25, 140 и 95
г) 30, 90 и 145
д) 45, 55 и 220
Резолюция
1-ва стъпка: Използвайки свойството паралелограм, знаем, че противоположните ъгли са равни. Когато анализирате изображението, е по-удобно да използвате това свойство при ъгли B и D на върха, тъй като те имат еднакви неизвестни.
2-ра стъпка: Знаейки, че последователните ъгли са допълващи и че x = 25, е възможно да се намери стойността на y.
3-та стъпка: Тъй като ъглите на върховете C и A са противоположни, те са еднакви, така че можем да намерим стойността на z.
Алтернатива В.
Въпрос 2 - Изчислете паралелограмната площ (страните, измерени в сантиметри) по-долу.
а) 16 cm²
б) 32 cm²
в) 8 cm²
г) 64 см²
д) 40 см²
Резолюция
За да се намери площта на паралелограма, първо е необходимо да се намери стойността на h. Имайте предвид, че триъгълник AEB е хипотенузен правоъгълник, равен на 5, така че можем да приложим теоремата на Питагор, за да намерим стойността на h.
Алтернатива Б.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/paralelogramos.htm
