Равнина на Арганд-Гаус (сложна равнина)

О План на Арганд-Гаус тя се състои от две оси: една вертикална (известна като въображаема ос) и една хоризонтална (известна като реална ос). Възможно е представляват геометрично комплексни числакоито са в алгебрична форма.

Чрез това геометрично представяне е възможно развийте някои концепции, като модула и аргумента на комплексно число. Комплексните числа са представени алгебрично чрез z = a + bi, така че те са представени с точки (a, b), което се нарича афикс.

Прочетете също: Геометрично представяне на сумата от комплексни числа

Геометрично представяне на комплексни числа

Представяне на комплексни числа в равнината на Арганд-Гаус

Сложната равнина, известна още като равнината на Арганд-Гаус, не е нищо повече от aДекартова равнина за комплексни числа. В равнината на Арганд-Гаус е възможно да се представи сложно число като точка, известна като афикс. С разработването на сложния план, има развитие на аналитична геометрия за комплексни числа, което прави възможно разработването на важни понятия като модул и аргумент.

Сложно число, представено в неговата алгебрична форма е z = a + bi, на какво The е истинската част и Б. е въображаемата част. Следователно, комплексните числа са представени като точка (a, b). В равнината на Арганд-Гаус хоризонталната ос е оста на реалната част, а вертикалната ос е оста на въображаемата част.

Прикрепете

О точка на равнината, представляваща комплексно число нарича се още афикс. Има три възможни случая на представяне: въображаеми афикси, реални афикси и чисто въображаеми афикси.

• въображаеми афикси

Афиксът е известен като въображаем, когато комплексното число има и двете реална част и въображаема част ненулева. В този случай афиксът е точка във всеки от четирите квадранта, в зависимост от стойностите на a, b и съответните им знаци.

Пример:

Вижте представянето на комплексни числа z₁ = 2 + 3i, z₂ = -3 - 4i, z₃ = -2 + 2i и z₄= 1 - 4i.

Вижте също: Свойства, включващи комплексни числа

• чисти въображаеми афикси

Сложно число е известно като чисто въображение, когато вашата реална част е равна на нула, тоест z = bi. Имайте предвид, че в този случай първата координата винаги е нула, така че нека работим с точки от тип (0, b). Когато маркирате в равнината на Арганд-Гаус, винаги има чисто въображаемо прикрепване ще бъде точка, принадлежаща на въображаемата ос, тоест към вертикалната ос.

Пример:

Вижте представянето на комплексни числа z₁ = 2i и z₂= -3i.

• реални афикси

Комплексният номер се класифицира като a реално числокогато твоят въображаема част е равна на нула, тоест z = a. В този случай втората координата винаги е нула, така че ще работим с точки от тип (a, 0), така че въображаемата част е нула и афиксите се съдържат в реалната ос на комплексната равнина.

Пример:

Вижте представянето на комплексни числа z₁ = 2 и z₂ = -4.

Модул със сложен номер

Когато представяме комплексно число, нека P (a, b) е афиксът на комплексното число z = a + bi. Познаваме модула на комплексното число a разстояние от точка Р до начало. Модулът на комплексно число z се представя с | z |. За да намерим стойността на | z |, използваме Питагорова теорема.

| z | ² = a² + b²

Можем да представим и чрез:

Пример:

Намерете модула на комплексното число z = 12 -5i.

| z | ² = 12² + (-5) ²

| z | ² 144 + 25

| z | ² = 169

| z | = √169

| z | = 13

Също така достъп: Кои са рационалните числа?

аргумент за комплексно число

Ние знаем как аргумент на комплексно число О ъгъл θ, образуван от вектора OP и реалната ос. Аргументът на число се представя чрез arg (z) = θ.

За да намерим ъгъла, използваме тригонометрични съотношения синус и косинус.

За да се намери стойността на аргумента, познавайки синуса и косинуса, просто вижте таблицата на стойностите за тези тригонометрични съотношения. Обикновено при приемните изпити в колежа по тази тема аргументът е a забележителен ъгъл.

Пример:

Намерете аргумента за комплексно число z = 1 + i.

Първо нека изчислим модула на z.

| z | ² = 1² + 1²

| z | ² = 1 + 1

| z | ² = 2

| z | = √2

Познавайки | z |, можем да изчислим синус и косинус на ъгъла.

Ъгълът, който има синус и косинус с намерените стойности, е 45º.

решени упражнения

Въпрос 1 - Какъв е аргументът на комплексното число z = √3 + i?

А) 30-ти

Б) 45-ти

В) 60-та

Г) 90º

Д) 120-та

Резолюция

Алтернатива В.

Знаем, че a = √3 и b = 1, така че:

Въпрос 2 - В следващия комплексен план са представени някои числа. Анализирайки плана, можем да кажем, че точките са представяне на чисти въображаеми числа:

A) M, N и I.

Б) P и I.

В) L и G.

Г) O, I, G.

Д) K, J и L.

Резолюция

Алтернатива Б.

За да се идентифицира чисто въображаемо число в комплексната равнина, е необходимо то да е отгоре на вертикалната ос, която в този случай са точки P и I.

От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm