тригонометричната окръжност е кръг с радиус 1, представен в Декартова равнина. В него хоризонталната ос е косинусната ос, а вертикалната ос е синусовата ос. Може да се нарече и тригонометричен цикъл.
Използва се за изследване на тригонометрични съотношения. С него е възможно да се разберат по-добре основните тригонометрични причини за ъгли по-голяма от 180º, а именно: синус, косинус и тангенс.
Прочетете също: 4 най-често срещани грешки в основната тригонометрия
Стъпка по стъпка за изграждане на тригонометричния кръг
За да се изгради тригонометричната окръжност, ние използваме две оси, една вертикална и една хоризонтална, като декартова равнина. Хоризонталната ос е известна като косинусова ос, а вертикалната ос е известна като синусова ос.
С изграждането на осите, нека нарисуваме графиката на окръжност, която има радиус 1.
Тригонометрични съотношения в окръжността
Използваме кръга, за да намерим стойността на
синус, косинус и тангенс, според стойността на ъгъла. като в вертикална ос синусовата стойност и на хоризонталната ос косинусова стойност, чрез определяне на ъгъл върху тригонометричната окръжност, е възможно да се намери стойността на синус и косинус чрез анализиране на координати на точката, където отсечката на линията свързва центъра на окръжността и обиколката, представени с P в изображението a последвам. Ако изчертаем допирателната линия към окръжността в точката (1.0), можем също да изчислим тангенсата на този ъгъл аналитично според изображението:
Прочетете също: Какво представляват секанс, косекант и котангенс?
Тригонометрични кръгови радиани
Знаем, че дъгата може да бъде измерена с помощта на две различни мерни единици: мярката в градуси и мярката в радиани. Ние знаем това обиколката е 360º и че дължината на дъгата ви е 2π:
Квадранти на тригонометричния кръг
Независимо дали е в радиани или градуси, възможно е да се определи квадрантът, в който се намира дадена дъга, според нейното измерване.
Анализирайки цикъла, трябва да:
първи квадрант: ъгли, които са между 0 до 90 ° или 0 и π / 2 радиана;
втори квадрант: ъгли, които са между 90 ° и 180 ° или π / 2 и π радиани;
трети квадрант: ъгли, които са между 180º и 270º или π и 3 π / 2 радиана;
четвърти квадрант: ъгли, които са между 270 ° и 360 ° или 3π / 2 и 2π радиана.
Прочетете също: Характеристики и свойства на плана
Забележителни ъгли в тригонометричния кръг
В началото на изследването на тригонометрия, научихме, че забележимите ъгли са ъглите от 30º, 45º и 60º, които имат стойността на известния синус, косинус и тангенс. Въпреки това, поради симетрията на тригонометричния цикъл, възможно е да се намерят синусовите и косинусовите стойности за тези ъгли и симетричните ъгли към него във всеки от квадрантите.
Тригонометрични кръгови знаци
За да се разбере какъв е знакът на всяко от тригонометричните съотношения в цикъла, е достатъчно да се анализират стойностите на оста в декартовата равнина.
Нека започнем с косинуса. Тъй като това е хоризонталната ос, косинусът на ъглите, включен вдясно от вертикалната ос, е положителен, а косинусът на ъглите, включен вляво от вертикалната ос, е отрицателен.
Сега, за да разберете синусовия знак на ъгъл, просто не забравяйте, че вертикалната ос е синусовата ос, така че синусът на ъгъл, който е над хоризонталната ос, е положителен; но ако ъгълът е под хоризонталната ос, синусът на този ъгъл е отрицателен, както е показано на следващото изображение:
Ние знаем това тангенсът е съотношението между синуса и косинуса, след това, за да намерим знака на допирателната за всеки от квадрантите, играем играта със знаци, което прави тангенсата положителна в нечетните квадранти и отрицателна в четните квадранти:
Прочетете също: Какво представляват полуправите, полуплоскостите и полупространствата?
симетрия в кръга
Анализирайки тригонометричния цикъл, възможно е да се изгради начин за намаляване на синуса, косинуса и допирателната до първия квадрант. Това намаляване означава намиране в първия квадрант на ъгъл, който е симетричен на ъгъл на другите квадранти, защото, когато работим със симетричен ъгъл, стойността на тригонометричните съотношения е същата, променяйки само нейната сигнал.
Намаляване на ъгъл, който е във 2-ри квадрант в 1-ви квадрант
Започвайки с ъглите, които са във втория квадрант, трябва да:
Както знаем, в 1-ви и 2-ри квадрант синусът е положителен. И така, за да изчислим намаляването на синуса от 2-ри квадрант към 1-ви квадрант, използваме формулата:
sin x = sin (180º - x)
Косинусът и тангенсът във 2-ри квадрант са отрицателни. За да намалим косинуса от 2-ри квадрант до 1-ви квадрант, използваме формулата:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Пример:
Каква е стойността на синуса и косинуса на ъгъл от 120 °?
Ъгълът от 120 ° е втори квадрант на квадранта, тъй като е между 90 ° и 180 °. За да намалим този ъгъл до 1-ви квадрант, изчисляваме:
грях 120 ° = грях (180 ° - 120 °)
грях 120º = грях 60º
Ъгълът от 60 ° е забележителен ъгъл, така че синусовата му стойност е известна, така че:
Сега нека изчислим вашия косинус:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Тъй като познаваме косинуса от 60-та, трябва:
Намаляване на ъгъл, който е в 3-ти квадрант в 1-ви квадрант
Както във 2-ри квадрант, има симетрия между ъгли в 3-ти квадрант и ъгли в 1-ви квадрант.
Синусът и косинусът в третия квадрант са отрицателни. И така, за да намалим синуса и косинуса от 3-ти квадрант на 1-ви квадрант, използваме формулата:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Тангенсът в 3-ти квадрант е положителен. За да го намалим, използваме формулата:
tg x = tg (x - 180º)
Пример:
Изчислете синус, косинус и тангенс от 225º.
sin 225º = - sin (225º - 180º)
sin 225º = - sin 45º
Тъй като 45º е забележителен ъгъл, когато се консултираме с масата, трябва да:
Сега, изчислявайки косинуса, трябва да:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Знаем, че tg45º = 1, така че:
tg 225º = 1
Намаляване на ъгъл, който е в 4-ти квадрант в 1-ви квадрант
Със същите разсъждения като предишните намаления, има симетрия между 4-ти и 1-ви квадрант:
Стойностите на синус и тангенс в 4-ти квадрант са отрицателни. И така, за да направим намалението от 4-ти на 1-ви квадрант, използваме формулата:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Косинусът в 4-ти квадрант е положителен. И така, за да се намали до 1-ви квадрант, формулата е:
cos x = cos (360º - x)
Пример:
Изчислете стойността на синус и косинус от 330º.
Започвайки със синуса:
Сега изчисляваме косинуса:
Прочетете също: Как да изчислим разстоянието между две точки в пространството?
Тригонометрични упражнения с решен кръг
Въпрос 1 - По време на изследването на кръговия момент, физик анализира обект, който се върти около себе си, образувайки ъгъл от 15 240º. Анализирайки този ъгъл, образуваната от него дъга е в:
А) квадрант I.
Б) квадрант II.
В) квадрант III.
Г) квадрант IV.
Д) отгоре на една от осите.
Резолюция
Алтернатива Б.
Знаем, че на всеки 360 ° този обект е завършил кръг около себе си. При изпълнение на разделение от 15 240 на 360, ще открием колко пълни завоя е направил този обект около себе си, но основният ни интерес е в останалото, което представлява ъгъла, под който е спрял.
15.240: 360 = 42,333…
Резултатът показва, че той е направил 42 завъртания около себе си, но 360 · 42 = 15.120, така че е оставил ъгъл от:
15.240 – 15.120 = 120º
Знаем, че 120 ° е квадрант втори ъгъл.
Въпрос 2 - Моля, преценете следните твърдения:
I → Когато се изчислява tg 140º, стойността ще бъде отрицателна.
II → Ъгълът от 200 ° е ъгъл на 2-ри квадрант.
III → Sen 130º = грех 50º.
Маркирайте правилната алтернатива:
А) Само аз съм фалшив.
Б) Само II е невярно.
В) Само III е невярно.
Г) Всички са верни.
Резолюция
Алтернатива Б.
I → Вярно, тъй като ъгълът от 140 ° принадлежи на 2-ри квадрант, в който тангенсът винаги е отрицателен.
II → Невярно, тъй като ъгълът от 200 ° е ъгъл на 3-ти квадрант.
III → Вярно, защото за да намалите ъгъл от 2-ри до 1-ви квадрант, просто изчислете разликата от 180 ° - x, след това:
грях 130 ° = грях (180 ° - 130 °)
грех 130-ти = грех 50-ти
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm