Какво е пермутация?

Пермутация е един от предметите, дискутирани в дисциплината комбинаторен анализ по математика. Имайки в ръка всяка подредена последователност с „n“ брой отделни елементи, всяка друга последователност, образувана от същите „n“ пренаредени елементи, се нарича a пермутация.

По този начин можем да кажем, че ако A е пермутация на B, тогава A и B са съставени от едни и същи елементи, но подредени по различен начин.

Откъде идват пермутациите?

Пермутациите са единични случаи на Прости договорености. Това са подредени групи от набор от елементи, така че групите имат по-малко или равен брой елементи от множество А.

Множеството A = {X, Y, Z}, {X, Y} и {Y, X} е a проста аранжировка на елементите от А взети 2 до 2. Броят на елементите на A е представен с буквата „n“. О Номер на поръчка, или номер на клас, е „k“. Това число е броят на елементите във всеки прост масив (в случая този пример е 2).

Списъкът с всички прости подредби на трите елемента от А, взети от 3 до 3, е както следва:

XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX и YXZ

Този списък е именно частният случай на аранжименти, които получават името на пермутация.

Изчисляване на прости договорености

Броят на прости подреждания на набор A, който има не взети елементи к The о, може да се изчисли по следната формула:

НА_{не, добре} = не!
(n - k)!

Определение на пермутация

Нека A е множество с не отделни елементи. Вие прости уговорки от тези елементи, взети n до n, се наричат прости пермутации на А. По този начин, за да бъде пермутация, е необходимо номерът на поръчката к да е равно на числото не от елементи на А. От това се получават следните изчисления:

Като вземем формулата, използвана за прости масиви, и номера на поръчката k = n, ще имаме:

Това е формулата, използвана за изчисляване на броя на пермутациите на елементите от множеството A, обикновено означени с P_не. Скоро:

Не спирайте сега... Има още след рекламата;)

P_не = A_{не не} = n!

P_не = n!

Пример

Изчислете броя на пермутациите на буквите на думата LOVE.

Решение:

Имайте предвид, че думата LOVE има 4 различни елемента. За да изчислим броя на пермутациите на тази дума, ще използваме формулата по-горе:

P_не = n!

P₄ = 4!

P₄ = 4·3·2·1

P₄ = 24

Следователно е възможно да се образуват 24 различни пермутации на буквите на думата LOVE. Извикват се и пермутации на думи анаграми.

Пермутации с повтарящи се елементи

Всеки набор може да има повтарящи се елементи. В пермутации този набор трябва да обмисли повторението на тези елементи, защото редът, в който се появяват, няма значение, за разлика от реда на другите елементи в множеството. Ако сменим само двете „A“ на мястото в думата AMAR, ще получим една и съща дума. Подобните думи не са пермутацииследователно това повторение трябва да бъде извадено във формулата за пермутациите.

Да се ​​извадят всички възможни повторения на елементи в едно пермутация с повтарящи се елементи, трябва да направим следното:

Нека A е множество с не елементи, от които к елементи се повтарят. Формулата за изчисляване на пермутациите на A е:

P_не^к = не!
к!

Ако е зададено A, с не елементи, притежават к повторения на елемент и j повторения на друг, изчислението ще се случи, както следва:

P_не^хаха =  не!
k! · j!

Ако набор A, с не елементи, има к повторения на елемент, j повторения на друг,..., м повторения на друг, формулата приема следната форма:

P_не^{k, j,..., m} =  не!
k! · j! ·... · М!

Пример

Изчислете броя на анаграмите на думата ANTONIA.

Решение:

За да решите примера, просто изчислете пермутации с повтарящи се елементи на думата АНТОНИЯ. И буквата А, и буквата N се повтарят 2 пъти. Гледам:

P₇^2,2 =  7!
2!·2!

P₇^2,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1

P₇^2,2 = 5040
4

P₇^2,2 = 1260

От Луис Пауло Морейра
Завършва математика