Тригонометричните уравнения са равенства, които включват тригонометрични функции на неизвестни дъги. Решаването на тези уравнения е уникален процес, който използва техники на редукция до по-прости уравнения. Нека разгледаме понятията и дефинициите на уравненията във формата cosx = a.
Тригонометричните уравнения под формата cosx = α имат решения в интервала –1 ≤ x ≤ 1. Определянето на стойностите на x, които отговарят на този тип уравнение, ще се подчинява на следното свойство: Ако две дъги имат равни косинуси, те са конгруентни или допълващи се..
Нека x = α е решение на уравнението cos x = α. Другите възможни решения са дъги, съответстващи на дъга α или дъга - α (или на дъга 2π - α). И така: cos x = cos α. Обърнете внимание на представянето в тригонометричния цикъл:
Заключихме, че:
x = α + 2kπ, с k Є Z или x = - α + 2kπ, с k Є Z
Пример 1
Решете уравнението: cos x = √2 / 2.
От таблицата на тригонометричните съотношения que2 / 2 съответства на ъгъл от 45º. Тогава:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
По този начин уравнението cosx = √2 / 2 има за решение всички дъги, съответстващи на дъгата π / 4 или –π / 4 или дори 2π - π / 4 = 7π / 4. Обърнете внимание на илюстрацията:
Заключваме, че възможните решения на уравнението cos x = √2 / 2 са:
x = π / 4 + 2kπ, с k Є Z или x = - π / 4 + 2kπ, с k Є Z
Пример 2
Решете уравнението: cos 3x = cos x
Когато дъгите 3x и x са съвпадащи:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Когато дъгите 3x и x се допълват:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Решението на уравнението cos 3x = cos x е {x Є R / x = kπ или x = kπ / 2, с k Є Z}.
от Марк Ной
Завършва математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm
