НА експоненциална функция възниква, когато в своя закон за формиране променливата е в степента, с домейн и контра-домейн в реални числа. Областта на експоненциалната функция е реалните числа, а броячът е ненулевите положителни реални числа. Вашият закон за обучение може да бъде описан от f (x) =Theх, на какво The е положително реално число, различно от 1.
О графичен на експоненциална функция винаги ще бъде в първия и втория квадрант на декартовата равнина и може да се увеличава, когато The е число, по-голямо от 1, или намаляващо, когато The е положително число по-малко от 1. НА обратна функция на експоненциалната функция е логаритмичната функция, която прави графиките на тези функции винаги симетрични.
Прочетете също: Какво е функция?
![Крива на експоненциална функция](/f/9525003ed1b29d6d3778e61a3f15d88c.jpg)
Какво е експоненциална функция?
Както подсказва името, терминът експоненциален е свързан с експонентен. Така че дефиницията на експоненциалната функция е a функция чия домейн е множеството реални числа, а контрадомейнът е множество ненулеви положителни реални числа.
, описано от : ℝ → ℝ *+. Законът за образуването му се описва с уравнението f (x) = Theх, на какво The това е всяко реално число, положително, не е нула и е дадено основното име.Примери:
![](/f/532d58bc9b841041ee4dba54e186fab6.jpg)
В закона за формирането f (x) също може да се опише като y и, както и в останалите функции, е известен като зависима променлива, тъй като нейната стойност зависи от x, което е известно като променлива. независим.
Експоненциални типове функции
Експоненциалните функции могат да бъдат класифицирани в два отделни случая. Като се вземе предвид поведението на функцията, може да бъде възходящ или низходящ.
Експоненциална функция се нарича нарастваща, ако с увеличаването на стойността на x стойността на f (x) също се увеличава. Това се случва, когато основата е по-голяма от 1, т.е. The > 1.
Пример:
![Графика на нарастваща експоненциална функция](/f/e1b3190e2abf89c368dcb4e18579d45b.jpg)
Експоненциалната функция се счита за намаляваща, ако с увеличаване на стойността на x стойността на f (x) намалява. Това се случва, когато основата е число между 0 и 1, т.е. 0 < The < 1.
Пример:
![Графика на низходяща експоненциална функция](/f/fb56d309515d7494483d47541cb6210d.jpg)
Прочетете също: Различия между функция и уравнение
Графика на експоненциална функция
За да се направи графично представяне на експоненциална функция, е необходимо да се намери изображението за някои стойности на домейна. Графиката на експоненциална функция има характеристиката на растеж, много по-голям от този на линейни функции, ако се увеличава или по-голямо намалява, когато намалява.
Примери:
а) Изградете графиката на функцията: f (x) = 2х.
Тъй като> 1, тогава тази функция се увеличава. За да изградим графиката, нека присвоим някои стойности на x, както е показано в таблицата по-долу:
![](/f/c697723687972ad334cfe77772cbbacc.jpg)
Сега, когато знаем някои точки от функцията, е възможно да ги маркираме в Декартова равнина и начертайте кривата на експоненциалната функция.
![](/f/28bb84430b91b892672bcad1e51c1f8d.jpg)
б) Изградете графиката на следната функция:
![](/f/3a5e274de32c614e71fe047b5441a16b.jpg)
В този случай функцията е низходяща, тъй като основата е число между 0 и 1, тогава графиката ще бъде низходяща.
![](/f/6c1ab63f216e3b41e4a0be63631caf06.jpg)
След намиране на някои числови стойности е възможно да се представи графиката на функцията в декартовата равнина:
![](/f/bce77e21d4d7678a08854bb1876929c2.jpg)
Свойства на експоненциална функция
→ 1-ви имот
Във всяка експоненциална функция, независимо от нейната базова стойност , Ние трябва даf (0) = 1. В крайна сметка знаем, че това е свойство за потентност, т.е. всяко число, повишено до 0, е 1. Това означава, че графиката ще пресича вертикалната ос в точка (0.1) всеки път.
→ 2-ри имот
Експоненциалната функция е инжектор. Данни x1 и х2 такъв, че x1 ≠ x2, така че изображенията също ще бъдат различни, т.е. f (x1) ≠ f (x2), което означава, че за всяка стойност на изображението има една стойност в домейна, която съответства на това изображение.
Да си инжекционен означава, че за стойности, различни от y, ще има единична стойност на x, която прави f (x) равна на y.
→ 3-ти имот
Възможно е да се знае поведението на функцията според нейната базова стойност. Графиката ще расте, ако основата е по-голяма от 1 (The > 1) и намалява, ако основата е по-малка от 1 и по-малка от 0 (0
→ 4-ти имот
О графика на експоненциалната функция е винаги в 1-ви и 2-ри квадрант, защото контрадомейнът на функцията са ненулевите положителни реални числа.
Прочетете също: Как да графирам функция?
Експоненциална функция и логаритмична функция
Тъй като експоненциалната функция е функция, която допуска обратното, това сравнение между експоненциална функция и логаритмична функция е неизбежно. се оказва, че логаритмичната функция е обратната функция на експоненциалната. Графиките на тези функции са симетрични по отношение на бисектрисата на оста x. Това, че е обратна функция, означава, че логаритмична функция прави обратното на това, което прави експоненциалната функция, т.е. в експоненциалната функция, ако f (x) = y, тогава логаритмичната функция, като е обратна, ще се обозначи с f-1 е-1 (y) = x.
![Графиката на експоненциалната функция е симетрична на графиката на логаритмичната функция.](/f/312cbff11cd7d8a94cf40d0df2bc0fdd.jpg)
решени упражнения
(Enem 2015) Профсъюзът на работниците на компания предполага, че минималната заплата в класа е 1800,00 R $, като се предлага фиксиран процент увеличение за всяка година, посветена на работа. Изразът, който съответства на предложението (ите) за заплата, като функция от трудовия стаж (t), в години, е s (t) = 1800 · (1,03)T.
Според предложението на синдиката заплатата на професионалист от тази компания с 2 години трудов стаж ще бъде в реали,
а) 7 416,00
б) 3 819,24
в) 3 709,62
г) 3 708,00
д) 1909.62
Резолюция:
Искаме да изчислим образа на функцията, когато t = 2, т.е. s (2). Замествайки t = 2 във формулата, ще открием, че:
s (2) = 1800 · (1,03) ²
s (2) = 1800 · 1,0609
s (2) = 1909,62
Алтернатива Е
2) (Enem 2015) Добавянето на технологии в индустриалната производствена система цели намаляване на разходите и увеличаване на производителността. През първата година на работа индустрията произвежда 8000 единици от определен продукт. На следващата година инвестира в технологии, придобивайки нови машини и увеличи производството с 50%. Смята се, че това процентно увеличение ще се повтори през следващите години, гарантирайки годишен ръст от 50%. Нека P е годишното количество продукти, произведени през годината t от дейността на индустрията.
Ако се достигне оценката, какъв е изразът, който определя броя на произведените единици Pвъв функция на T, за T ≥ 1?
The) P(T) = 0,5 · t -1 + 8 000
Б)P(T) = 50 · t -1 + 8000
° С)P(T) = 4 000 · t-1 + 8 000
д)P(T) = 8 000 · (0,5)t-1
и)P(T) = 8 000 · (1,5)t-1
Резолюция:
Имайте предвид, че има връзка между годината T и количеството на определен продукт П. Знаейки, че има увеличение от 50% за всяка година, това означава, че при сравняване на производството от година преди и след, стойността на втората съответства на 150%, което е представено с 1,5. Знаейки, че първоначалното производство е 8000 и че през първата година това е производството, можем да опишем тази ситуация чрез:
През първата година, т.е. ако t = 1 → s (t) = 8 000.
През втората година, ако t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
През третата година, ако t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
След t години ще имаме P(T) = 8 000 · (1,5)t-1.
Алтернатива Е
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm