Експоненциална функция: видове, графика, упражнения

НА експоненциална функция възниква, когато в своя закон за формиране променливата е в степента, с домейн и контра-домейн в реални числа. Областта на експоненциалната функция е реалните числа, а броячът е ненулевите положителни реални числа. Вашият закон за обучение може да бъде описан от f (x) =The^х, на какво The е положително реално число, различно от 1.

О графичен на експоненциална функция винаги ще бъде в първия и втория квадрант на декартовата равнина и може да се увеличава, когато The е число, по-голямо от 1, или намаляващо, когато The е положително число по-малко от 1. НА обратна функция на експоненциалната функция е логаритмичната функция, която прави графиките на тези функции винаги симетрични.

Прочетете също: Какво е функция?

Какво е експоненциална функция?

Както подсказва името, терминът експоненциален е свързан с експонентен. Така че дефиницията на експоненциалната функция е a функция чия домейн е множеството реални числа, а контрадомейнът е множество ненулеви положителни реални числа.

instagram story viewer

, описано от : ℝ → ℝ *₊. Законът за образуването му се описва с уравнението f (x) = The^х, на какво The това е всяко реално число, положително, не е нула и е дадено основното име.

Примери:

В закона за формирането f (x) също може да се опише като y и, както и в останалите функции, е известен като зависима променлива, тъй като нейната стойност зависи от x, което е известно като променлива. независим.

Експоненциални типове функции

Експоненциалните функции могат да бъдат класифицирани в два отделни случая. Като се вземе предвид поведението на функцията, може да бъде възходящ или низходящ.

Експоненциална функция се нарича нарастваща, ако с увеличаването на стойността на x стойността на f (x) също се увеличава. Това се случва, когато основата е по-голяма от 1, т.е. The > 1.

Пример:

Графика на нарастваща експоненциална функция

Експоненциалната функция се счита за намаляваща, ако с увеличаване на стойността на x стойността на f (x) намалява. Това се случва, когато основата е число между 0 и 1, т.е. 0 < The < 1.

Пример:

Графика на низходяща експоненциална функция

Прочетете също: Различия между функция и уравнение

Графика на експоненциална функция

За да се направи графично представяне на експоненциална функция, е необходимо да се намери изображението за някои стойности на домейна. Графиката на експоненциална функция има характеристиката на растеж, много по-голям от този на линейни функции, ако се увеличава или по-голямо намалява, когато намалява.

Примери:

а) Изградете графиката на функцията: f (x) = 2^х.

Тъй като> 1, тогава тази функция се увеличава. За да изградим графиката, нека присвоим някои стойности на x, както е показано в таблицата по-долу:

Сега, когато знаем някои точки от функцията, е възможно да ги маркираме в Декартова равнина и начертайте кривата на експоненциалната функция.

б) Изградете графиката на следната функция:

В този случай функцията е низходяща, тъй като основата е число между 0 и 1, тогава графиката ще бъде низходяща.

След намиране на някои числови стойности е възможно да се представи графиката на функцията в декартовата равнина:

Свойства на експоненциална функция

→ 1-ви имот

Във всяка експоненциална функция, независимо от нейната базова стойност , Ние трябва даf (0) = 1. В крайна сметка знаем, че това е свойство за потентност, т.е. всяко число, повишено до 0, е 1. Това означава, че графиката ще пресича вертикалната ос в точка (0.1) всеки път.

→ 2-ри имот

Експоненциалната функция е инжектор. Данни x₁ и х₂ такъв, че x₁ ≠ x₂, така че изображенията също ще бъдат различни, т.е. f (x₁) ≠ f (x₂), което означава, че за всяка стойност на изображението има една стойност в домейна, която съответства на това изображение.

Да си инжекционен означава, че за стойности, различни от y, ще има единична стойност на x, която прави f (x) равна на y.

→ 3-ти имот

Възможно е да се знае поведението на функцията според нейната базова стойност. Графиката ще расте, ако основата е по-голяма от 1 (The > 1) и намалява, ако основата е по-малка от 1 и по-малка от 0 (0

→ 4-ти имот

О графика на експоненциалната функция е винаги в 1-ви и 2-ри квадрант, защото контрадомейнът на функцията са ненулевите положителни реални числа.

Прочетете също: Как да графирам функция?

Експоненциална функция и логаритмична функция

Тъй като експоненциалната функция е функция, която допуска обратното, това сравнение между експоненциална функция и логаритмична функция е неизбежно. се оказва, че логаритмичната функция е обратната функция на експоненциалната. Графиките на тези функции са симетрични по отношение на бисектрисата на оста x. Това, че е обратна функция, означава, че логаритмична функция прави обратното на това, което прави експоненциалната функция, т.е. в експоненциалната функция, ако f (x) = y, тогава логаритмичната функция, като е обратна, ще се обозначи с f^-1 е^-1 (y) = x.

Графиката на експоненциалната функция е симетрична на графиката на логаритмичната функция.

решени упражнения

(Enem 2015) Профсъюзът на работниците на компания предполага, че минималната заплата в класа е 1800,00 R $, като се предлага фиксиран процент увеличение за всяка година, посветена на работа. Изразът, който съответства на предложението (ите) за заплата, като функция от трудовия стаж (t), в години, е s (t) = 1800 · (1,03)^T.

Според предложението на синдиката заплатата на професионалист от тази компания с 2 години трудов стаж ще бъде в реали,

а) 7 416,00

б) 3 819,24

в) 3 709,62

г) 3 708,00

д) 1909.62

Резолюция:

Искаме да изчислим образа на функцията, когато t = 2, т.е. s (2). Замествайки t = 2 във формулата, ще открием, че:

s (2) = 1800 · (1,03) ²

s (2) = 1800 · 1,0609

s (2) = 1909,62

Алтернатива Е

2) (Enem 2015) Добавянето на технологии в индустриалната производствена система цели намаляване на разходите и увеличаване на производителността. През първата година на работа индустрията произвежда 8000 единици от определен продукт. На следващата година инвестира в технологии, придобивайки нови машини и увеличи производството с 50%. Смята се, че това процентно увеличение ще се повтори през следващите години, гарантирайки годишен ръст от 50%. Нека P е годишното количество продукти, произведени през годината t от дейността на индустрията.

Ако се достигне оценката, какъв е изразът, който определя броя на произведените единици Pвъв функция на T, за T ≥ 1?

The) P(T) = 0,5 · t ^-1 + 8 000

Б)P(T) = 50 · t ^-1+ 8000

° С)P(T) = 4 000 · t^-1 + 8 000

д)P(T) = 8 000 · (0,5)^t-1

и)P(T) = 8 000 · (1,5)^t-1

Резолюция:

Имайте предвид, че има връзка между годината T и количеството на определен продукт П. Знаейки, че има увеличение от 50% за всяка година, това означава, че при сравняване на производството от година преди и след, стойността на втората съответства на 150%, което е представено с 1,5. Знаейки, че първоначалното производство е 8000 и че през първата година това е производството, можем да опишем тази ситуация чрез: