Решете системилинейна това е много повтаряща се задача за изследвания в областта на естествените науки и математиката. Търсенето на неизвестни стойности доведе до разработването на методи за решаване на линейни системи, като метод на добавяне, равенство и заместване за системи, които имат две уравнения и две неизвестнии правилото и мащабирането на Крамър, които решават линейни системи от две уравнения, но които са по-удобни за системи с повече уравнения. Линейната система е набор от две или повече уравнения с едно или повече неизвестни.
Прочетете също:Каква е връзката между матриците и линейните системи?
линейно уравнение
Работата с уравнения съществува поради трябва да намерите неизвестни неизвестни стойности. Ние го наричаме уравнение, когато имаме алгебричен израз с равенство и той се класифицира като линеен, когато най-големият степен на неговите неизвестни е 1, както е показано в следните примери:
2x + y = 7 → линейно уравнение с две неизвестни
a + 4 = -3 → линейно уравнение с едно неизвестно
Най-общо казано, линейно уравнение може да бъде описано чрез:
The1х1 + на2х2 + a3x3... + aнехне = c
Ние знаем като система за уравнения, когато има повече от едно линейно уравнение. Ще започнем с линейни системи от две неизвестни.
Решаване на линейни системи
Линейни системи с две уравнения от 1-ва степен и две неизвестни
За да се реши система от две уравнения и две неизвестни, има няколко методи, трите най-известни са:
- метод за сравнение
- метод на добавяне
- метод на заместване
Всяко едно от трите може да реши линейна система от две уравнения и две неизвестни. Тези методи не са толкова ефективни за системи с повече уравнения, тъй като има други специфични методи за тяхното разрешаване.
Метод на замяна
Методът на заместване се състои от изолирайте едно от неизвестните в едно от уравненията и изпълнете заместването в другото уравнение.
Пример:
1-ва стъпка: изолирайте едно от неизвестните.
Наричаме I първото уравнение, а II второто уравнение. Анализирайки двете, нека изберете неизвестното, което е най-лесно да се изолира. Имайте предвид, че в уравнение I → x + 2y = 5, x няма коефициент, което улеснява изолирането, така че ще пренапишем уравнение, което харесвам това:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 - 2у
2-ра стъпка: замени I в II.
Сега, когато имаме уравнение I само с x, в уравнение II можем да заменим x с 5 - 2y.
II → 3x - 5y = 4
Замяна на x с 5 - 2y:
3 (5 - 2y) - 5y = 4
Сега, когато уравнението има само едно неизвестно, е възможно да се реши, за да се намери стойността на y.
Знаейки стойността на y, ще намерим стойността на x, като заменим стойността на y в уравнение I.
I → x = 5 - 2у
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Така че решението на системата е S = {3,1}.
Метод за сравнение
Методът за сравнение се състои от изолирайте неизвестно в двете уравнения и изравнете тези стойности.
Пример:
1-ва стъпка: нека да бъда първото уравнение, а II второто, да изолираме едно от неизвестните в I и II. Избирайки да изолираме неизвестния x, трябва да:
2-ра стъпка: приравнете двете нови уравнения, тъй като x = x.
3-та стъпка: заменете стойността на y с -2 в едно от уравненията.
х = -4 - 3г
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Така че решението на тази система е множеството S = {2, -2}.
Вижте също: Какви са разликите между функцията и уравнението?
метод на добавяне
Методът на събиране се състои в извършване на умножението на всички членове на едно от уравненията по такъв начин, че когато добавяйки уравнение I към уравнение II, едно от неговите неизвестни е равно на нула.
Пример:
1-ва стъпка: умножете едно от уравненията, така че коефициентите да са противоположни.
Имайте предвид, че ако умножим уравнение II по 2, имаме 4y в уравнение II и -4y в уравнение I, и това по добавяме I + II, получаваме 0y, така че нека умножим всички членове в уравнение II по 2, така че това се случи.
I → 5x - 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2-ра стъпка: изпълнете сумата I + 2 · II.
3-та стъпка: заменете стойността на x = 3 в едно от уравненията.
Линейни системи с три уравнения от 1-ва степен и три неизвестни
Когато системата има три неизвестни, ние приемаме други методи за решаване. Всички тези методи свързват коефициентите с матрици, а най-използваните методи са правилото на Crammer или мащабирането. За разделителната способност и при двата метода е необходимо матричното представяне на системата, дори системата 2x2 може да бъде представена посредством матрица. Има две възможни представяния, пълната матрица и непълната матрица:
Пример:
Системата
Може да бъде представен от пълна матрица
И за непълна матрица
Правилото на Крамър
За да се намерят решения за система 3x3 с неизвестни x, y и z, като се използва Правилото на Крамър, е необходимо да се изчисли детерминантата на непълната матрица и нейните вариации. Така че трябва да:
D → детерминанта на непълната матрица на системата.
дх → детерминанта на непълната матрица на системата, заместваща колоната на x с колоната на независимите членове.
ду → детерминанта на непълната матрица на системата, заместваща колоната на y с колоната на независимите членове.
дz → детерминанта на непълната матрица на системата, заместваща колоната на z с колоната на независими членове.
И така, за да намерим стойността на вашите неизвестни, първо трябва да изчислим детерминанта D, Dх, Ду свързани със системата.
Пример:
1-ва стъпка: изчисли D.
2-ра стъпка: изчислете Dх.
3-та стъпка: тогава можем да намерим стойността на x, защото:
4-та стъпка: изчислете Dу.
5-та стъпка: тогава можем да изчислим стойността на y:
6-та стъпка: сега, когато знаем стойността на x и y, във всеки ред можем да намерим стойността на z, като заместим стойността на x и y и изолираме z. Друг вариант е да се изчисли Dz.
Замествайки x = 0 и y = 2 в първото уравнение:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 - z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Следователно системното решение е търгът (0,2, -1).
Също така достъп: Решаване на задачи чрез уравнителни системи
мащабиране
Друг метод за решаване на линейни системи е мащабирането, при което ние използваме само пълната матрица и операции между редовете, за да изолираме техните неизвестни. Нека да мащабираме системата по-долу.
1-ва стъпка: напишете пълната матрица, която представлява системата.
бъде L1, L2 и L3 съответно линиите 1, 2 и 3 на матрицата, ще извършваме операции между L1 и L2 и L1 и L3, така че резултатът прави членовете в първата колона на втория и третия ред равни на нула.
Анализирайки втория ред на матрицата, нека го заменим с резултата от L2 → -2 · L1 + L2, за да нулираме члена a21.
The21 = -2 · 1 + 2 = 0
The22 = -2 · 2 + 1 = -3
The23 = -2 · (-3) + 1 = 7
The24 =-2 · 10 + 3 = -17
Така че L2 ще бъде 0 -3 7 -17.
Анализирайки третия ред на матрицата, нека го заменим с резултата от L3 → 3L1 + L2, за да нулирате термина на31.
The31 = 3 · 1 – 3 = 0
The32 = 3 · 2 + 2 = 8
The33 = 3 · (-3) +1 = -8
The34 = 3 · 10 – 6 = 24
Така че L3 ще бъде 0 8 -8 24.
Обърнете внимание, че всички се делят на 8, така че линията L3 улеснявайте, нека го разделим на 8.
L3 → L3 : 8 ще бъде: 0 1-1 3.
Така че новата матрица на мащабираното уравнение ще бъде:
Сега целта е да нулираме колона y в третия ред, ще извършваме операции между L2 и L3, с цел нулиране на втората колона на един от тях.
Ще заменим L3 с L3 → L2 + 3L3.
The31 = 0 + 3 · 0 = 0
The32 = -3 + 3 · 1 = 0
The33 = 7 + 3 · (-1) = 4
The34 = -17 + 3 · 3 = -8
Така че L3 ще бъде: 0 0 4 -8.
Новата мащабирана матрица ще бъде:
Сега, когато отново представим тази матрица като система, добавяйки x, y и z към колоните, ще намерим следното:
След това можем да намерим стойността на всяко от неизвестните. Анализирайки уравнение III, трябва:
Ако z = -2, нека заместим стойността на z във второто уравнение:
И накрая, в първото уравнение, нека заместим стойността на y и z, за да намерим стойността на x.
Вижте също: Система за неравенства от 1-ва степен - как да се реши?
класификация на линейна система
Линейната система е набор от линейни уравнения, които могат да имат няколко неизвестни и няколко уравнения. Има няколко метода за решаването му, независимо от броя на уравненията. има три рейтинги за линейна система.
- Определена възможна система (SPD): когато имате едно решение.
- Неопределена възможна система (SPI): когато има безкрайни решения.
- невъзможна система(SI): когато няма решение.
Решени упражнения
Въпрос 1 (IFG 2019) Помислете за сумата от измерванията на основа и височината спрямо тази основа на триъгълник, равна на 168 cm и разликата, равна на 24 cm. Правилно е да се твърди, че измерванията на основата и височината, съответно на тази база, съответно:
а) 72 см и 96 см
б) 144 см и 24 см
в) 96 см и 72 см
г) 24 см и 144 см
Резолюция
Алтернатива В.
Нека h → височина и b → основа, тогава имаме следната система:
Чрез метода на добавяне трябва да:
За да намерим стойността на h, нека заместим b = 96 cm в първото уравнение:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
h = 72 cm
въпрос 2 Непълната матрица, която представя следната линейна система е:
Резолюция
Алтернатива В.
Непълната матрица е тази, която има коефициенти x, y и z, така че ще бъде матрица 3x3. Анализирайки алтернативите, тази, която съдържа матрицата 3x3 с правилните знаци, е буквата C.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
