НА мумножение на матрица се извършва чрез алгоритъм, който изисква много внимание. За да съществува продуктът между матрица A и матрица B, необходимо е броят на колони дава първо централно управление, в случай A, е равно на броя на линии дава Понеделник централно управление, в случай Б.
От умножението между матриците е възможно да се разбере каква е матрицата за идентичност, която е неутрален елемент на умножение на матрица и каква е обратната матрица на матрица M, която е матрица M-1 чийто произведение на M от M-1 е равно на матрицата за идентичност. Също така е възможно да умножим матрица по реално число - в този случай умножаваме всеки от членовете на централно управление по номер.
Прочетете също: Какво е триъгълна матрица?
условие за съществуване
За да умножите две матрици, първо е необходимо да проверите условието за съществуване. За да съществува продуктът, броят на колоните в първата матрица трябва да е равен на броя на редовете във втората матрица.
Освен това резултатът от умножението е матрица, която има същия брой редове като първата матрица и същия брой колони като втората матрица.Например произведението AB между матрици A3x2 и Б2x5 съществува, тъй като броят на колоните в A (2 колони) е равен на броя на редовете в B (2 реда) и резултатът е матрица AB3x5. Вече произведение между C матрици3x5 и матрица D2x5 не съществува, тъй като C има 5 колони, а D има 3 реда.
Как да изчислим произведението между две матрици?
За да извършите умножение на матрица, необходимо е да следвате някои стъпки. Ще направим пример за умножението на алгебрична матрица A2x3 от матрица B3x2
Знаем, че продуктът съществува, тъй като матрицата A има 3 колони, а матрицата B - 3 реда. Ще наречем C резултатът от умножението A · B. Освен това знаем също, че резултатът е матрица C.2x2, тъй като матрицата A има 2 реда, а матрицата B, 2 колони.
Да се изчисли произведението на матрица А2x3 и матрица В3х2, нека следваме няколко стъпки.
Първо ще намерим всеки от членовете на матрицата C2x2:
За да намерим условията, нека винаги свързвайте редовете на матрица A с колоните на матрица B:
° С11 → 1-ви ред на A и 1-ва колона на B
° С12 → 1-ви ред на A и 2-ра колона на B
° С21 → 2-ри ред на A и 1-ва колона на B
° С22 → 2-ри ред на A и 2-ра колона на B
Изчисляваме всеки от членовете, като умножаваме членовете в реда на A и термините в колоната на B. Сега трябва да добавим тези продукти, започвайки с ° С11:
1-ви ред на A
1-ва колона на B
° С11 = The11· Б11 + The12· Б21+ The13· Б31
изчисляване ° С12:
1-ви ред на A
2-ра колона на B
° С12 = The11· Б12 + The12· Б22+The13· Б32
изчисляване ° С21:
2-ри ред на A
1-ва колона на B
° С21 = The21· Б11 + The22· Б21+The23· Б31
изчисляване на срока ° С22:
2-ри ред на A
2-ра колона на B
° С22 = The21· Б12 + The22· Б22+The23· Б32
По този начин матрицата C се формира от термините:
Пример:
Нека изчислим умножението между матрици A и B.
Знаем, че в A2x2 и Б2x3, броят на колоните в първата е равен на броя на редовете във втората, така че продуктът съществува. Така че ще направим C = A · B и знаем, че C2x3.
Умножавайки се, трябва да:
Вижте също: Какво е транспонирана матрица?
матрица за идентичност
При умножението между матриците има някои специални случаи, като например матрицата за идентичност, която е неутралният елемент на умножение между матриците.. Матрицата за идентичност е квадратна матрица, т.е. броят на редовете винаги е равен на броя на колоните. Освен това само членовете на диагонала са равни на 1 в него, а всички останали членове са равни на нула. Когато умножаваме матрица M по матрицата на идентичността Iне, Ние трябва да:
M · Iне = М
Пример:
Какво представлява обратната матрица?
Като се има предвид матрица M, ние я познаваме като обратна матрица на M. матрицата M-1чийто продукт M · M-1 равно на à матрица за идентичност Iне. За да има матрица обратна, тя трябва да е квадратна и нейната детерминанта трябва да е различно от 0. Нека да разгледаме примери за матрици, които са обратни:
Изчислявайки произведението A · B, трябва:
Имайте предвид, че продукт между A и B, генерирана матрица I2. Когато това се случи, казваме, че B е обратната матрица на A. За да научите повече за този тип матрица, прочетете: Обратна матрица.
Умножение на матрица с реално число
За разлика от умножението между матрици, има и умножение на матрици по едно реално число, което е много по-проста операция за намиране на решението.
Дадена матрица M, умножавайки матрицата по реално число к е равно на матрицата кМ. За да намерите тази матрица кМ, стига умножете всички членове в матрицата по константата к.
Пример:
ако к = 5 и като се има предвид матрица M по-долу, намерете матрица 5M.
Умножаване:
решени упражнения
Въпрос 1 - (Unitau) Дадени матрици A и B,
стойността на елемент c11 на матрицата C = AB е:
А) 10.
Б) 28.
В) 38.
Г) 18.
Д) 8.
Резолюция
Алтернатива А.
Как искаме термина c11, нека умножим условията в първия ред и A с условията в първата колона на B.
изчисляване c11 = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10
Въпрос 2 - (Enem 2012) Ученик регистрира двумесечните оценки на някои от предметите си в таблица. Той отбеляза, че числовите записи в таблицата образуват матрица 4 × 4 и че той може да изчисли средните годишни стойности за тези дисциплини, като използва произведението на матриците. Всички тестове имаха еднакво тегло и таблицата, която той получи, е показана по-долу.
За да получи тези средни стойности, той умножи матрицата, получена от таблицата, по матрицата:
Резолюция
Алтернатива Е.
Средното не е нищо повече от сумата на елементите, разделена на броя на елементите. Имайте предвид, че има 4 бележки на ред, така че средната стойност ще бъде сумата от тези бележки, разделена на 4. Разделянето на 4 е същото като умножаването по фракция ¼. Освен това матрицата на оценките е матрица 4х4, така че трябва да умножим по матрица 4х1, тоест тя има 4 реда и 1 колона, за да намерим матрицата, която има средната стойност на оценките.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm
