Обратна матрица: какво е това, как да намерите упражнения

Концепцията за обратна матрица се доближава много до концепцията за обратното на число. Нека си припомним, че обратното на число не е числото не^-1, където произведението между двете е равно на неутралния елемент на умножение, т.е. числото 1. Вече обратната на матрица M е матрица M^-1, където продуктът M · M^-1 е равна на матрицата за идентичност I_не, което не е нищо повече от неутралния елемент на матричното умножение.

За да има матрицата обратна, тя трябва да е квадратна и освен това нейният детерминант трябва да е различен от нула, в противен случай няма да има обратна. За да намерим обратната матрица, използваме матричното уравнение.

Прочетете и вие: Триъгълна матрица - специален тип квадратна матрица

За да има матрица обратна, тя трябва да е квадратна.

матрица за идентичност

За да се разбере каква е обратната матрица, първо е необходимо да се знае матрицата за идентичност. Познаваме като матрица за идентичност квадратната матрица I_не където всички елементи на главния диагонал са равни на 1, а останалите членове са равни на 0.

НА матрицата за идентичност е неутралният елемент на умножение между матриците., тоест даден a централно управление M от порядък n, произведението между матрица M и матрица I_не е равно на матрица М.

M · I_не = М

Как да изчислим обратната матрица

За да се намери обратната матрица на M, е необходимо да се реши матрично уравнение:

 М · М^-1 = Аз_не

Пример

Намерете обратната матрица на М.

Тъй като не познаваме обратната матрица, нека представим тази матрица алгебрично:

Знаем, че произведението между тези матрици трябва да бъде равно на I₂:

Сега нека решим матричното уравнение:

Възможно е проблемът да се раздели на две системи на уравнения. Първият използва първата колона на матрицата M · M^-1 и първата колона на матрицата за идентичност. И така, трябва да:

За да решим системата, нека изолираме₂₁ в уравнение II и заместител в уравнение I.

Замествайки в уравнение I, трябва:

Как да намерим стойността на a₁₁, тогава ще намерим стойността на a₂₁:

Знаейки стойността на a₂₁ и₁₁, сега ще намерим стойността на останалите термини, като настроим втората система:

изолиране на₂₂ в уравнение III трябва да:

3-ти₁₂ + 1-ви₂₂ = 0

The₂₂ = - 3-ти₁₂

Заместване в уравнение IV:

5-ти₁₂ + 2-ро₂₂ =1

5-ти₁₂ + 2 · (- 3-ти₁₂) = 1

5-ти₁₂ - 6-ти₁₂ = 1

- а₁₂ = 1 ( – 1)

The₁₂ = – 1

Знаейки стойността на a₁₂, ще намерим стойността на a₂₂ :

The₂₂ = - 3-ти₁₂

The₂₂ = – 3 · ( – 1)

The₂₂ = 3

Сега, когато знаем всички условия на матрицата M^-1, възможно е да го представите:

Прочетете също: Събиране и изваждане на матрици

Обратни свойства на матрицата

Има свойства, които са резултат от дефинирането на обратна матрица.

• 1-ви имот: обратната на матрицата M^-1 е равно на матрица М. Обратното на обратната матрица винаги е самата матрица, т.е. (M^-1)^-1 = M, защото знаем, че M^-1 · M = I_не, следователно М^-1 е обратното на M, а също така M е обратното на M^-1.
• 2-ри имот: обратната на матрицата на идентичността е самата: I^-1 = I, тъй като продуктът на матрицата на идентичността сам по себе си води до матрицата на идентичността, т.е. I_не · Аз_не = Аз_не.
• 3-ти имот: обратното на произведение от две матрициВие ли сте е равно на произведението на обратните:

(M × H)^-1 = М^-1 · A^-1.

• 4-ти имот: квадратна матрица има обратна, ако и само ако е детерминанта се различава от 0, тоест det (M) ≠ 0.

решени упражнения

1) Дадени матрица A и матрица B, знаейки, че те са обратни, тогава стойността на x + y е:

а) 2.

б) 1.

в) 0.

г) -1.

д) -2.

Резолюция:

Алтернатива d.

Изграждане на уравнението:

A · B = I 

Във втората колона, равна на условията, трябва да:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Изолиране на x в I:

Подмяна в уравнение II, ние трябва:

Знаейки стойността на y, ще намерим стойността на x:

Сега нека изчислим x + y:

въпрос 2

Матрицата има обратно, само когато нейният детерминант е различен от 0. Разглеждайки матрицата по-долу, кои са x стойностите, които карат матрицата да не поддържа обратна?

а) 0 и 1.

б) 1 и 2.

в) 2 и - 1.

г) 3 и 0.

д) - 3 и - 2.

Резолюция:

Алтернатива b.

Изчислявайки детерминантата на A, искаме стойности, където det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

решаване на Уравнение 2-ра степен, Ние трябва да:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm