Множители и делители: какви са те и свойства

Концепциите на кратни и разделители от естествено число се простира до множеството от цели числа. Когато се занимаваме с темата за множителите и делителите, ние се позоваваме на числови множества които отговарят на някои условия. Множители се намират след умножение по цели числа, а делителите са числа, делими на определен брой.

Поради това ще намерим подмножества на целите числа, тъй като елементите от множествата на множители и делителите са елементи от множеството от цели числа. За да се разбере какво са прости числа, е необходимо да се разбере понятието делители.

Понятията за множители и делители са получени от операции.

кратни на число

бъда The и Б. две известни цели числа, числото The е кратно на Б. ако и само ако има цяло число к такъв, че The = Б. · K. По този начин набор от кратни в Theсе получава чрез умножениеTheза всички цели числа, резултатите от тях умножения са кратни на The.

Например, нека изброим първите 12 кратни на 2. За това трябва да умножим числото 2 по първите 12 цели числа, по следния начин:

instagram story viewer

2 · 1 = 2

2 · 2 = 4

2 · 3 = 6

2 · 4 = 8

2 · 5 = 10

2 · 6 = 12

2 · 7 = 14

2 · 8 = 16

2 · 9 = 18

2 · 10 = 20

2 · 11 = 22

2 · 12 = 24

Следователно кратни на 2 са:

М (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

Имайте предвид, че ние изброихме само първите 12 числа, но можехме да изброим толкова, колкото е необходимо, тъй като списъкът на кратните се дава чрез умножаване на число по всички цели числа. Поради това, множеството от кратни е безкрайно.

За да проверим дали числото е кратно на друго, трябва да намерим цяло число, така че умножаването между тях да доведе до първото число. Вижте примерите:

→ Числото 49 е кратно на 7, защото има цяло число, което, умножено по 7, води до 49.

49 = 7 · 7

→ Числото 324 е кратно на 3, тъй като има цяло число, което, умножено по 3, води до 324.

324 = 3 · 108

→ Числото 523 не е кратно на 2, защото няма цяло число което, умножено по 2, води до 523.

523 = 2 · ?

Прочетете също: Свойства на умножението, които улесняват умственото изчисление

Кратни на 4

Както видяхме, за да определим кратните на числото 4, трябва да умножим числото 4 по цели числа. Поради това:

4 · 1 = 4

4 · 2 = 8

4 · 3 = 12

4 · 4 = 16

4 · 5 = 20

4 · 6 = 24

4 · 7 = 28

4 · 8 = 32

4 · 9 = 36

4 · 10 = 40

4 · 11 = 44

4 · 12 = 48

...

Следователно кратни на 4 са:

М (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }

Кратни на 5

Аналогично имаме кратни на 5.

5 · 1 = 5

5 · 2 = 5

5 · 3 = 15

5 · 4 = 20

5 · 5 = 25

5 · 6 = 30

5 · 7 = 35

...

Следователно кратните на 5 са: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...}

разделители с едно число

бъда The и Б. две известни цели числа, да речем Б. е разделител на The ако номерът Б. е кратно на The, това е разделение между Б. и The е точно (трябва да напусне Почивка 0).

Вижте няколко примера:

→ 22 е кратно на 2, така че 2 е делител на 22.

→ 63 е кратно на 3, така че 3 е делител на 63.

→ 121 не е кратно на 10, така че 10 не е делител на 121.

За да изброим делителите на число, трябва да потърсим числата, които го разделят. Виж:

- Избройте разделителите на 2, 3 и 20.

D (2) = {1, 2}

D (3) = {1,3}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Имайте предвид, че числата в списъка на делителите винаги се делят на въпросното число и това най-високата стойност, която се появява в този списък, е самото число., тъй като нито едно число по-голямо от него няма да се дели на него.

Например при делители на 30 най-голямата стойност в този списък е самата 30, тъй като нито едно число, по-голямо от 30, няма да се дели на него. Поради това:

D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Знам повече: Забавни факти за разделяне на естествени числа

Собственост на множители и делители

Тези свойства са свързани с разделение между две цели числа. Имайте предвид, че когато едно цяло число е кратно на друго, то също се дели на това друго число.

Помислете за алгоритъм на разделяне за да можем по-добре да разберем свойствата.

N = d · q + r, където q и r са цели числа.

не забравяйте, че н е наречен на дивидент;d, за разделител;q, за коефициент; и r, между другото.

→ Собственост 1: Разликата между дивидента и остатъка (N - r) е кратно на делителя или числото d е делител на (N - r).

→ Свойство 2: (N - r + d) е кратно на d, т.е. числото d е делител на (N - r + d).

Вижте примера:

- Когато извършваме разделянето на 525 на 8, получаваме коефициент q = 65 и остатък r = 5. По този начин имаме дивидент N = 525 и делител d = 8. Вижте, че свойствата са удовлетворени, защото (525 - 5 + 8) = 528 се дели на 8 и:

528 = 8 · 66

прости числа

Вие прости числа са тези, които имат като делител в списъка си само числото 1 и самото число. За да проверите дали числото е просто или не, един от най-тривиалните методи е да се изброят делителите на това число. Ако се появят числа повече от 1 и въпросното число, това не е просто.

→ Проверете кои са простите числа между 2 и 20. За това нека да изброим делителите на всички тези числа между 2 и 20.

D (2) = {1, 2}

D (3) = {1,3}

D (4) = {1, 2, 4}

D (5) = {1, 5}

D (6) = {1, 2, 3, 6}

D (7) = {1, 7}

D (8) = {1, 2, 4, 8}

D (9) = {1, 3, 9}

D (10) = {1, 2, 5, 10}

D (11) = {1, 11}

D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D (13) = {1, 13}

D (14) = {1, 2, 7, 14}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

D (16) = {1, 2, 4, 16}

D (17) = {1, 17}

D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D (19) = {1, 19}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Простите числа между 2 и 20 са:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19}

Имайте предвид, че наборът е от някои от първите прости числа, този списък продължава. Имайте предвид, че колкото по-голямо е числото, толкова по-трудно става да се разбере дали е първостепенно или не.

Прочетете още: Нерационални числа: тези, които не могат да бъдат представени в дробни части

Решени упражнения

Въпрос 1 - (UMC-SP) Броят на елементите в набора от главни делители на 60 е:

а) 3

б) 4

в) 5

г) 10

Решение

Алтернатива А

Първо ще изброим делителите на 60 и след това ще разгледаме кои са главни.

D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

От тези числа имаме главни:

{2, 3, 5}

Следователно броят на главните делители на 60 е 3.

въпрос 2 - Запишете всички естествени числа, по-малки от 100 и кратни на 15.

Решение

Знаем, че кратните на 15 са резултатите от умножаването на числото 15 по всички цели числа. Тъй като упражнението изисква да запишем естествените числа, по-малки от 100 и които са кратни на 15, трябва умножете 15 по всички числа, по-големи от нула, докато намерим най-голямото кратно преди 100, поради това:

15 · 1 = 15

15 · 2 = 30

15 · 3 = 45

15 · 4 = 60

15 · 5 = 75

15 · 6 = 90

15 · 7 = 105

Следователно естествените числа, по-малки от 100 и кратни на 15, са:

{15, 30, 45, 60, 75, 90}

въпрос 3 - Кое е най-голямото кратно на 5 между 100 и 1001?

Решение

За да определите най-голямото кратно на 5 между 100 и 1001, просто идентифицирайте първото кратно на 5 отпред.