Пермутациите са част от проблемите с броенето. Използваме пермутации, за да знаем броя на редовете на елементите в набор. Практикувайте знанията си за пермутацията и разрешете съмненията си с решените упражнения.
Упражнение 1
Двама приятели си играеха с шестстранни зарове. Известно е, че са излезли номера 4, 1, 2 и 5, не е задължително в този ред. Колко последователности от резултати може да има?
Отговор: 24
Част от подреждането на резултатите може да бъде:
1, 2, 4 и 5 или
5, 4, 5 и 1 или
4, 5, 1 и 2
За да определим общия брой възможни подреждания, изчисляваме пермутация с четири отделни елемента.
Упражнение 2
Група от шестима приятели отидоха да гледат филм в киното и купиха билетите си за същия ред седалки. Имайки предвид, че има двойка и те седяха на съседни столове, по колко начина тези приятели биха могли да се поберат в редицата столове?
Отговор: 240
Тъй като всички елементи от набора "приятели" се вземат предвид при изчислението, това е проблем с пермутация.
За да изчислим общия възможен брой пермутации, взехме предвид 5 елемента, тъй като двойката трябва винаги да е заедно.
Освен това от тези 120 възможности трябва да умножим по две, тъй като двойката може да си разменя местата помежду си.
По този начин броят на възможните начини приятелите да се организират в редицата столове е:
120. 2 = 240
Упражнение 3
Клас от 7 ученици си играе на двора, като се възползва от междучасието си. След като чуят сигнала за връщане в класните стаи, учениците се нареждат в редица. По колко различни начина учениците могат да формират последователността на опашката?
Отговор: 5040
Общият брой възможни начини за организиране на опашката е пермутация от 7 отделни елемента.
Упражнение 4
Фотограф настройва фотоапарата си, за да снима 5 деца, подредени на пейка. В тази група има 3 момичета и 2 момчета. Възможна подредба на децата за снимката би била:
Имайки предвид позициите, в които децата могат да седят на пейката, по колко начина може фотографът да организира момчетата и момичетата, като получи различни снимки?
Отговор: 10
Това е случай на пермутация с повтарящи се елементи. Трябва да разделим общия брой пермутации на произведението между пермутациите на елементите, които се повтарят.
Упражнение 5
Колко анаграми могат да се направят с буквите в думата PREFEITURA?
Отговор: 907 200
Думата КМЕТСТВО има 10 букви, някои от които се повтарят. Буквата E се появява два пъти, както и R.
Изчисляваме делението между пермутациите на 10 елемента и делим на произведението на пермутациите на повтарящите се елементи.
Упражнение 6
(UEMG 2019) От набора от всички пермутации на буквите в думата PONTA, една се премахва произволно. Каква е вероятността да се премахне дума, която започва и завършва с гласна?
а) 1/20
б) 1/10
в) 1/6
г) 1/5
Етап 1: брой на всички пермутации с буквите на думата PONTA.
Тъй като има пет отделни букви, имаме:
Стъпка 2: брой пермутации, които започват и завършват с гласна.
За първата буква има две гласни опции, за последната буква ще има само 1.
За съгласните са 3! възможности.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Стъпка 3: определя коефициента на вероятност.
Упражнение 7
(EsPCex 2012) Вероятността да се получи число, делящо се на 2, когато се избере произволно една от пермутациите на цифрите 1, 2, 3, 4, 5 е
а) 1/5
б) 2/5
в) 3/4
г) 1/4
д) 1/2
Етап 1: общи пермутации.
Тъй като има пет различни елемента, имаме, че броят на пермутациите на 5 елемента е равен на 5 факториел.
Стъпка 2: пермутации на числа, делящи се на две с петте цифри.
За да се дели на 2, условието е да е четно. По този начин има две опции за последната цифра, 2 и 4.
За останалите позиции са 4! възможности.
Стъпка 3: изчисляване на вероятността.
Упражнение 8
(EsFCEx 2022) Нека P е множеството от пермутации на последователността 1, 3, 6, 9, 12, за които първият член е различен от 1. Ако една от тези последователности бъде изтеглена на случаен принцип, вероятността вторият член да е 3 е равна на p/q, с p, q ∈ IN* и gcd (p, q) = 1. Следователно q – p е равно на
а) 13.
б) 15.
в) 12.
г) 14.
д) 11.
Етап 1: определяне на общия брой възможни случаи в пробното пространство.
От дясно на ляво първото число не може да бъде едно, така че има 4 възможности за заемане на първа позиция.
Има 4 за заемане на останалите позиции! възможности.
Пермутациите са:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Стъпка 2: определете възможностите за възникване на събитието, като второто е три, а първото е различно от едно.
Пермутациите са:
3.1.3.2.1 = 18
Стъпка 3: коефициент на вероятност.
Съотношението на вероятността е:
С p = 18 и q = 96.
Все още обаче съществува условието, че най-големият общ делител между p и q е 1, което не се среща при 18 и 96.
Трябва да опростим и тестваме дроби, еквивалентни на 18/96.
Стъпка 4: опростяване на вероятностната част и определяне на p и q.
Като gcd (3, 16) = 1, p = 3 и q = 16.
Стъпка 5: заключение.
q - p = 16 - 3 = 13
Научете повече за пермутация.
За повече упражнения вижте:
Упражнения за комбинаторен анализ
ASTH, Рафаел. Решени и обяснени упражнения за пермутация.Цялата материя, [n.d.]. Достъпен в: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Достъп на:
Вижте също
- Комбинаторен анализ
- Упражнения за комбинаторен анализ
- Пермутация: проста и с повторение
- Подреждане по математика: какво е това, как да се изчисли, примери
- 27 основни упражнения по математика
- Комбинация в математиката: как се изчислява и примери
- Вероятностни упражнения
- Вероятност
