А числова последователност е набор от числа, организирани по подреден начин. Числовата последователност може да бъде съставена с помощта на различни критерии — например последователност от четни числа или последователност от кратни на 3. Когато можем да опишем този критерий с формула, ние наричаме тази формула закон за образуване на числовата последователност.
Прочетете също: Разлики между число, число и цифра
Обобщение на числовата последователност
Числовата последователност е списък от числа, подредени по ред.
Цифровата последователност може да следва различни критерии.
Законът за възникване на числовата редица е списъкът от елементи, които съществуват в редицата.
Последователността може да се класифицира по два начина. Единият отчита броя на елементите, а другият - поведението.
Що се отнася до броя на елементите, последователността може да бъде крайна или безкрайна.
Що се отнася до поведението, последователността може да бъде нарастваща, постоянна, намаляваща или осцилираща.
Когато числовата последователност може да бъде описана с уравнение, това уравнение е известно като закон за образуване на числовата последователност.
Какво представляват последователностите?
Последователностите са набори от елементи, подредени в определен ред. В ежедневието си можем да възприемем няколко ситуации, които включват последователности:
Последователност на месеците: Януари, февруари, март, април,..., декември.
Последователност от години на първите 5 световни първенства на 21 век: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Има няколко други възможни последователности, като последователност от имена или възрастова последователност. Винаги, когато има установен ред, има и последователност.
Всеки елемент от последователност е известен като член на последователността, така че в последователността има първи член, втори член и т.н. В общи линии, една последователност може да бъде представена от:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(до 1\) → първия член.
\(a_2\) → втори член.
\(a_3\) → трети член.
\(a_n\) → всеки термин.
Закон за възникване на числовата редица
Можем да имаме последователности от различни елементи, като месеци, имена, дни от седмицата и др. Апоследователността е числова последователност, когато включва числа. Можем да образуваме поредица от четни числа, нечетни числа, прости числа, кратни на 5 и т.н.
Последователността е представена с помощта на закон за възникване. Законът за възникване не е нищо повече от списък от елементи на числовата последователност.
Примери:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → поредица от нечетни числа от 1 до 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → поредица от числа, кратни на 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → редуваща се последователност между 1 и -1.
Каква е класификацията на числовата последователност?
Можем да класифицираме последователностите по два различни начина. Единият от тях е отчитане на броя на елементите, а другият - поведението на тези елементи.
→ Класификация на числовата редица според броя на елементите
Когато класифицираме последователността според броя на елементите, има две възможни класификации: крайна последователност и безкрайна последователност.
◦ Крайна редица от числа
Една последователност е крайна, ако има ограничен брой елементи.
Примери:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Безкрайна редица от числа
Една последователност е безкрайна, ако има неограничен брой елементи.
Примери:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Класификация на числовата редица според поведението на редицата
Другият начин за класифициране е чрез поведение на последователност. В този случай последователността може да бъде нарастваща, постоянна, осцилираща или намаляваща.
◦ Увеличаваща се числова последователност
Последователността се увеличава, ако даден термин винаги е по-голям от своя предшественик.
Примери:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Поредица от постоянни числа
Последователността е постоянна, когато всички членове имат еднаква стойност.
Примери:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Низходяща числова последователност
Последователността е намаляваща, ако членовете в редицата винаги са по-малки от своите предшественици.
Примери:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Осцилираща числова последователност
Последователността е осцилираща, ако има членове, по-големи от техните предшественици и членове, по-малки от своите предшественици, алтернативно.
Примери:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Закон за образуване на числовата редица
В някои случаи е възможно да се опише последователността с помощта на формула, но това не винаги е възможно. Например поредицата от прости числа е добре дефинирана поредица, но не можем да я опишем с формула. Познавайки формулата, успяхме да изградим закона за възникване на числовата последователност.
Пример 1:
Поредица от четни числа, по-големи от нула.
\(a_n=2n\)
Имайте предвид, че при подмяната н за един естествено число (1, 2, 3, 4, ...), ще намерим четно число:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
И така, имаме формула, която генерира членовете на редицата, образувана от четни числа, по-големи от нула:
(2, 4, 6, 8, ...)
Пример 2:
Поредица от естествени числа, по-големи от 4.
\(a_n=4+n\)
Изчислявайки условията на редицата, имаме:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Написване на закона за възникване:
(5, 6, 7, 8,…)
Вижте също: Аритметична прогресия — частен случай на числова последователност
Решени упражнения върху числова редица
Въпрос 1
Една числова последователност има закон за образуване, равен на \(a_n=n^2+1\). Анализирайки тази последователност, можем да кажем, че стойността на 5-ия член на последователността ще бъде:
А) 6
Б) 10
В) 11
Г) 25
Д) 26
Резолюция:
Алтернатива Е
Изчислявайки стойността на 5-ия член на редицата, имаме:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
Въпрос 2
Анализирайте следните числови последователности:
аз (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Можем да заявим, че последователности I, II и III се класифицират съответно като:
А) нарастваща, осцилираща и намаляваща.
Б) намаляващи, нарастващи и осцилиращи.
В) осцилиращи, постоянни и нарастващи.
Г) намаляващи, осцилиращи и постоянни.
Д) осцилиращи, намаляващи и нарастващи.
Резолюция:
Алтернатива C
Анализирайки последователностите, можем да кажем, че:
аз (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Това е колебание, тъй като има термини, които са по-големи от своите предшественици, и термини, които са по-малки от своите предшественици.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Тя е постоянна, тъй като членовете на последователността са винаги едни и същи.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Увеличава се, тъй като термините винаги са по-големи от предшествениците си.
