Към операции с множества те са съюз, пресечна точка и разлика. Резултатът от всяка от тези операции е нов набор. За да посочим обединението между множествата, използваме символа ∪; за пресечната точка, символът ∩; и за разликата, символът на изваждане\(-\). В случай на разлика е важно да се спазва редът, в който ще се извърши операцията. С други думи, ако A и B са множества, тогава разликата между A и B е различна от разликата между B и A.
Прочетете също: Диаграма на Вен — геометрично представяне на множества и операции между тях
Обобщение на операциите с множества
Операциите с множества са: обединение, пресечна точка и разлика.
Обединението (или срещата) на множества A и B е множеството A ∪ B, образувано от елементите, които принадлежат на A или принадлежат на B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ или\ x∈B\}\)
Пресечната точка на множества A и B е множеството A ∩ B, образувано от елементите, които принадлежат на A и принадлежат на B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ и\ x∈B\}\)
Разликата между множества A и B е множеството A – B, образувано от елементите, които принадлежат на A и не принадлежат на B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Ако U (известно като множество на вселената) е множество, което съдържа всички множества в даден контекст, тогава разликата U – A, с A ⊂ U, се нарича допълнение на A. Допълнението на A се образува от елементи, които не принадлежат на A и е представено от Аw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Видео урок за операции с множества
Кои са трите операции с множества?
Трите операции с комплекти са: обединение, пресичане и разлика.
Обединение на комплекти
Обединението (или срещата) на множества A и B е множеството A ∪ B (прочетете „Обединението B“). Това множество се състои от всички елементи, които принадлежат на множество А или принадлежат на множество B, т.е елементи, които принадлежат към поне едно от множествата.
Представяйки елементите на A ∪ B чрез x, пишем
\(A∪B=\{x; x∈A\ или\ x∈B\}\)
На изображението по-долу оранжевата област е комплект А ∪Б.
Изглежда трудно? Нека да разгледаме два примера!
Пример 1:
Какво е множеството A ∪ B, ако A = {7, 8} и B = {12, 15}?
Множеството A ∪ B се образува от елементите, които принадлежат на A или принадлежат на Б. Тъй като елементи 7 и 8 принадлежат на множеството A, то и двата трябва да принадлежат на множеството A ∪ B. Освен това, тъй като елементи 12 и 15 принадлежат на множеството B, тогава и двата трябва да принадлежат на множеството A ∪ B.
Следователно,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Обърнете внимание, че всеки от елементите на A∪B принадлежи или на множество A, или на множество B.
Пример 2:
Да разгледаме множествата A = {2, 5, 9} и B = {1, 9}. Какво е множеството A ∪ B?
Тъй като елементи 2, 5 и 9 принадлежат на множеството A, тогава всички те трябва да принадлежат на множеството A∪B. Освен това, тъй като елементи 1 и 9 принадлежат на множеството B, тогава всички те трябва да принадлежат на множеството A ∪ B.
Обърнете внимание, че споменахме 9 два пъти, тъй като този елемент принадлежи на множество A и множество B. Казвайки, че „множеството A ∪ B е образувано от елементите, които принадлежат на A или принадлежат на B” не изключва елементи, които едновременно принадлежат на множества A и B.
И така, в този пример имаме
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Обърнете внимание, че записваме елемент 9 само веднъж.
Пресечна точка на множества
Пресечната точка на множествата A и B е множеството A ∩ B (четете „Пресечната точка B“). Това множество се състои от всички елементи, които принадлежат на множество А то е принадлежат към набор B. С други думи, A ∩ B се състои от общите елементи на множествата A и B.
Посочвайки елементите на A ∩ B с x, записваме
\(A∩B=\{x; x∈A\ и\ x∈B\}\)
На изображението по-долу оранжевата област е комплект А ∩B.
Нека решим два примера за пресичане на множества!
Пример 1:
Да разгледаме A = {-1, 6, 13} и B = {0, 1, 6, 13}. Какво е множеството A ∩ B?
Множеството A ∩ B се образува от всички елементи, които принадлежат на множеството A то е принадлежат към набор B. Обърнете внимание, че елементи 6 и 13 принадлежат едновременно на множества A и B.
Като този,
A ∩ B={6, 13}
Пример 2:
Каква е пресечната точка между множествата A = {0,4} и \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Обърнете внимание, че няма общ елемент между множества A и B. По този начин пресечната точка е множество без елементи, тоест празно множество.
Следователно,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Разлика между комплектите
Разликата между множества A и B е множеството A – B (четете „разлика между A и B“). Този комплект се състои от всички елементи, които принадлежат на множество A и не принадлежат на множество B.
Изобразявайки елементите на A – B чрез x, пишем
\(A-B=\{x; x∈A\ и\ x∉B\}\)
На изображението по-долу оранжевата област е setA – B.
Внимание: разликата между множествата A и B не е разликата между множествата B и A, защото B – A се образува от всички елементи, които принадлежат на множество B и не принадлежат на множество A.
Разгледайте двата примера по-долу за разликата между комплектите.
Пример 1:
Ако A = {-7, 2, 100} и B = {2, 50}, тогава какво е множеството A – B? Какво ще кажете за комплекта B – A?
КомплектътА-Б се състои от всички елементи, които принадлежат на множеството A то ене принадлежат към набор B. Обърнете внимание, че 2 е единственият елемент в набор A, който също принадлежи на набор B. Следователно 2 не принадлежи на множеството A – B.
Следователно,
A – B = {-7, 100}
Освен това множеството B – A се формира от всички елементи, които принадлежат на множеството B то ене принадлежат на набор А. Следователно,
B – A = {50}
Пример 2:
Каква е разликата между множеството A = {–4, 0} и множеството B = {–3}?
Обърнете внимание, че никой от елементите на A не принадлежи на B. Така разликата A – B е самото множество A.
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
Наблюдение: Помислете, че U (наречено множество на вселената) е множество, което съдържа всички други множества в дадена ситуация. Като този, разликата U–A, с А⊂U, е множество, наречено допълващо към A и представен като \(пр.н.е.\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
В следващото изображение правоъгълникът е наборът от вселена, а оранжевата област е наборът от вселена \(пр.н.е.\).
Знам повече: Стъпка по стъпка как да направите деление
Решени упражнения върху операции с множество
Въпрос 1
Разгледайте множествата A = {–12, –5, 3} и B = {–10, 0, 3, 7} и класифицирайте всяко твърдение по-долу като T (вярно) или F (невярно).
аз A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Правилният ред, отгоре надолу, е
А) V-V-V
B) F-V-V
В) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Резолюция
аз Невярно.
Елемент 0 трябва да принадлежи на обединението на A и B, тъй като 0 ∈ B. Така A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Вярно.
III. Вярно.
Алтернатива Б.
Въпрос 2
Да разгледаме A = {4, 5}, B = {6,7} и C = {7,8}. Тогава множеството A ∪ B ∩ C е
А) {7}.
Б) {8}.
В) {7, 8}.
Г) {6,7,8}.
Д) {4, 5, 6, 7, 8}.
Резолюция
Забележете, че A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Следователно множеството A ∪ B ∩ C е пресечната точка между A ∪ B = {4, 5, 6, 7} и C = {7,8}. Скоро,
A ∪ B ∩ C = {7}
Алтернатива А.
Източници
ЛИМА, Илон Л.. Курс за анализ. 7 изд. Рио де Жанейро: IMPA, 1992 г. v.1.
ЛИМА, Илон Л. и др. Математическа гимназия. 11. изд. Колекция за учители по математика. Рио де Жанейро: SBM, 2016 г. v.1.
