А вкореняване Това е математическа операция, точно като събиране, изваждане, умножение, деление и потенциране. По същия начин, по който изваждането е обратната операция на събирането, а делението е обратната на умножението, радиацията е обратната операция на потенцирането. По този начин, за реални положителни x и y и цяло число n (по-голямо или равно на 2), ако x, повдигнато на n, е равно на y, можем да кажем, че коренът n от y е равен на x. В математическа нотация: \(x^n=y\дясна стрелка\sqrt[n]{y}=x\).
Прочетете също:Потенциране и излъчване на фракции - как да го направите?
Резюме за вкореняване
Рутификацията е математическа операция.
Излъчването и потенцирането са обратни операции, тоест за положителни x и y, \(x^n=y\дясна стрелка\sqrt[n]{y}=x\).
Изчисляването на корен n от число y означава намиране на числото x, така че x, повдигнато до n, да е равно на y.
Четенето на корен зависи от индекс n. Ако n = 2, го наричаме корен квадратен, а ако n = 3, го наричаме корен кубичен.
При операции с радикали използваме термини с един и същи индекс.
Радиацията има важни свойства, които улесняват нейното изчисляване.
Видео урок за руутване
Представяне на корен
За да представите вкореняване, трябва да вземем предвид трите включени елемента: коренно изражение, индекс и корен. Символът \(√\) се нарича радикал.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
В този пример, y е коренното изражение, n е индексът и x е коренът. Той гласи „корен n-ти от y е x“. Докато x и y представляват положителни реални числа, n представлява цяло число, равно или по-голямо от 2. Важно е да се отбележи, че за n = 2 индексът може да бъде пропуснат. така, например, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Можем да представим радиация, като използваме подкореното изражение с дробен показател. Формално казваме, че коренът n от \(y^m\) може да се запише като y, повдигнато до дробния показател \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Вижте примерите:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Разлики между радиация и потенциране
Потенциране и радиация са обратни математически операции. Това означава, че ако \(x^n=y\), тогава \(\sqrt[n]{y}=x\). Изглежда трудно? Нека да разгледаме някои примери.
Ако \(3^2=9\), тогава \(\sqrt[2]{9}=3\).
Ако \(2^3=8\), тогава \(\sqrt[3]{8}=2\).
Ако \(5^4=625\), тогава \(\sqrt[4]{625}=5\).
Как да четем корен?
За да прочетете корен, трябва да вземем предвид индекса н. Ако n = 2, ние го наричаме квадратен корен. Ако n = 3, ние го наричаме кубичен корен. За стойностите на н по-големи, използваме номенклатурата за редни числа: корен четвърти (ако n = 4), корен пети (ако n = 5) и т.н. Вижте някои примери:
\(\sqrt[2]{9}\) – корен квадратен от 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – корен кубичен от 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – четвърти корен от 625.
Как да изчислим корена на число?
По-долу ще видим как да изчислим корена на положително реално число. За изчисляване на корена на число, трябва да вземем предвид свързаната обратна операция. Тоест, ако търсим n-тия корен от число y, трябва да търсим число x, такова че \(x^n=y\).
В зависимост от стойността на y (т.е. коренното изражение), този процес може да бъде прост или трудоемък. Нека да разгледаме някои примери за това как да изчислим корена на число.
Пример 1:
Колко е корен квадратен от 144?
Резолюция:
Нека наречем номера, който търсим x, т.е. \(\sqrt{144}=x\). Обърнете внимание, че това означава да търсите число x, такова че \(x^2=144\). Нека тестваме някои възможности с естествени числа:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Следователно, \(\sqrt{144}=12\).
Пример 2:
Какъв е кубичният корен от 100?
Резолюция:
Нека наречем номера, който търсим x, т.е. \(\sqrt[3]{100}=x\). Това означава, че \(x^3=100\). Нека тестваме някои възможности:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Обърнете внимание, че търсим число, което е между 4 и 5, т.к \(4^3=64\) то е \(5^3=125\). И така, нека тестваме някои възможности с числа между 4 и 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Като \(4,6^3 \) е число, близко до и по-малко от 100, можем да кажем, че 4,6 е приближение на корен кубичен от 100. Следователно, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Важно:Когато коренът е рационално число, казваме, че коренът е точен; иначе коренът не е точен. В примера по-горе ние определяме диапазон между точните корени, където се намира търсеният корен:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Тази стратегия е много полезна за изчисляване на приближения на корен.
Операции с радикали
При операции с радикали използваме термини с един и същи индекс. Като имате предвид това, прочетете внимателно следната информация.
→ Събиране и изваждане между радикали
За да решим събиране или изваждане между радикали, трябва да изчислим корена на всеки радикал поотделно.
Примери:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Важно: Не е възможно да се оперират радикали в операции събиране и изваждане. Имайте предвид, че например операцията \(\sqrt4+\sqrt9\) води до различен брой \(\sqrt{13}\), дори ако \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Умножение и деление между радикали
За да разрешим умножение или деление между радикали, можем да изчислим корена на всеки радикал поотделно, но можем също така да използваме свойствата на излъчване, които ще видим по-долу.
Примери:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Какви са свойствата на радиацията?
→ Свойство 1 на радиацията
Ако y е положително число, тогава коренът n от \(y^n\) е равно на y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Вижте примера:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Това свойство се използва широко за опростяване на изрази с радикали.
→ Свойство 2 на радиацията
Коренът n-та от продукта \(y⋅z\) е равно на произведението на корените n-та от y и z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Вижте примера:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Важно: Когато изчисляваме корена на голямо число, това е много полезно множете (разложите) коренното изражение на прости числа и приложете свойства 1 и 2. Вижте следния пример, в който искаме да изчислим \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Като този,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Имот 3на вкореняване
Корен n-ти от частното \(\frac{y}z\), с \(z≠0\), е равно на частното от корените n-та на y и z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Вижте примера:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Свойство 4 на радиацията
Корен n-ти от y, повдигнат до степен m, е равен на корен n-ти от \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Вижте примера:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Вижте също: Какви са свойствата на потенцирането?
Решени упражнения върху облъчването
Въпрос 1
(FGV) Опростяване \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), Вие получавате:
А) 0
Б) - 23
В) - 43
Г) - 63
Г) - 83
Резолюция:
Алтернатива C.
Имайте предвид, че използвайки свойствата на радиация, имаме
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
По този начин можем да пренапишем израза на твърдението като
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Поставяне на термина \(\sqrt3\) доказателства, ние заключаваме, че
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Въпрос 2
(Cefet) По кое число трябва да умножим числото 0,75, така че квадратният корен от получения продукт да е равен на 45?
А) 2700
Б) 2800
В) 2900
Г) 3000
Резолюция:
Алтернатива А.
Търсеното число е x. Така, според изявлението,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Следователно,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
