Известен е като a рационално число всяко число, което може да се представи като неприводима дроб. През цялата човешка история идеята за числото постепенно се развива в съответствие с човешките нужди. Представянето на числата във фракции, например, решава задачи, които се решават само с цели числа.
Рационално число може да бъде представено от дроб, така че има методи за трансформиране на цели числа, десетични числа точни и периодични десетични знаци във фракции.
Прочетете също: Операции с фракции - как да се реши?
Кои са рационалните числа?
Рационалните числа са разширяване на множеството от цели числа, след това, в допълнение към целите числа, бяха добавени всички фракции. О комплект от рационалните числа е представено от:
Това, което казва това представяне, е, че числото е рационално, ако може да бъде представено като дроб The относно Б., такъв, че The е цяло число и Б. е ненулево цяло число. Но ако трябва да дефинираме рационалните числа по-малко строго, можем да кажем следното:
Рационалните числа са всички числа, които могат да бъдат представени като дроб. |
Запознайте се с тази дефиниция:
Вие цели числаs, например: -10, 7, 0;
Вие точни десетични числа, например: 1,25; 0,1; 3,1415;
в прости периодични десятъци, например: 1.424242…;
в съставен периодичен десятък, например: 1.0288888 ...
Не са рационални числа:
В непериодични десятъци, например: 4,1239489201…;
В коренине е точно, например:
;- НА жабаiz квадрат от отрицателни числа, например:
.
Наблюдение: Съществуването на нерационални числа води до появата на други множества, като ирационални числа и комплексни числа.
Представяне на рационални числа
Разбиране, че фракцията е a разделение от две цели числа, за да бъде рационално число, можете да представите това число като дроб. Следователно, всеки от споменатите по-горе случаи като рационални числа (цели числа, точни десетични и периодични десетични знаци) може да бъде представен като дроб.
цели числа
Има безкрайни възможности за представяне на цяло число като дроб, тъй като дроб може да бъде представен в неприводима форма или не.
Примери:
точни десетични знаци
За да превърнете точно десетично число в фракция, броим броя на числата в неговата десетична част, тоест след десетичната запетая. Ако след запетая има число, ще напишем целочислената част плюс десетичната част без запетая над 10. Ако в десетичната част има две числа над 100, на практика количеството числа в десетичната част ще бъде количеството нули, които имаме в знаменателя. Вижте примера:
периодични десятъци
Намирането на дробното представяне на десятък не винаги е лесна задача, това, което наричаме генерираща фракция. За да се улесни тази работа, беше забелязано, че в уравнението, което използвахме за намиране на генериращата фракция, има закономерности, които позволиха разработването на практически метод.
Първо, трябва да разберем, че има два вида периодични десятъци, прости и сложни. Едно десятъкът е прост ако в неговата десетична част има само частта, която се повтаря, т.е. периодът. Едно десятъкът е съставен ако в неговата десетична част има непериодична част.
Пример:
9,323232... → прост периодичен десетичен знак
Цялата част е равна на 9.
Периодът е равен на 32.
8,7151515… → съставен периодичен десятък
Цялата част е равна на 8.
Непериодичната десетична част е равна на 7.
Периодът е равен на 15.
Вижте също: Еквивалентни фракции - фракции, които представляват еднакво количество
→ 1-ви случай: генериране на дроб от прост периодичен десетичен знак
В първия случай до превърнете обикновения периодичен десетичен знак във дроб по практически метод просто напишете цялата част плюс точката без запетая в числителя. В знаменателя за всеки елемент в периодичната част добавяме 9.
Пример:
Генериращата част от 9.323232…, както видяхме, има период, равен на 32, т.е. две числа в своя период, така че знаменателят е 99. Целочислената част плюс периодичната част без запетая е 932, което е числителят. И така, генериращата част от този десятък е:
→ 2-ри случай: генериране на дроб от съставен периодичен десетичен знак
Периодичният композитен десятък е малко по-трудоемък. Нека да намерим генериращата част от десятъка, върху който сме работили в примера.
8,7151515... → сложен периодичен десетичен знак.
Цялата част е равна на 8.
Непериодичната десетична част е равна на 7.
Десетичната част на периода е равна на 15.
Числителят ще бъде изваждане 8715 - 87, тоест разликата между числото, което преминава от цялата част към периодичната част с неповтарящата се част от десятъка.
Числителят ще бъде равен на 8715 - 87 = 8628.
За да намерим знаменателя, нека анализираме десетичната част. Първо нека разгледаме непериодичната и периодичната десетична част. В този случай десетичната част на числото е 715. За всяко число, което е в периодичната част, нека добавим a 9 в началото на знаменателя. Тъй като периодичната част в този случай има две числа (15), в знаменателя ще има две 9s. За всяко число в десетичната част, което не е периодично, ще добавим a 0 в края на знаменателя, който ще бъде 990.
Скоро, генерираща фракция от десятък ще бъде:
Свойства на рационалните числа
Между две рационални числа винаги ще има друго рационално число
Интересно е да се мисли за това свойство, което беше много обсъждано от древните народи, превръщайки се в парадокс. Избирайки две рационални числа, винаги ще има число между тях.
Пример:
Между 1 и 2 има 1,5; между 1 и 1,5, има 1,25; между 1 и 1,25, има 1,125 и т.н. Колкото и да избера две рационални числа с много малка разлика между тях, винаги е възможно да намеря рационално число между тях. Това свойство прави невъзможно да се определи наследник и предшественик в рационални числа.
Четирите операции върху множеството рационални числа са затворени
Казваме, че комплектът е затворен за суманапример, ако сумата от две рационални числа винаги генерира друго рационално число като отговор. Това се случва с четирите операции на Q.
НА събиране, изваждане, деление и умножение между две рационални числа винаги ще доведе до рационално число. Всъщност дори потенциране на рационално число винаги ще генерира рационално число в отговор.
Множеството от рационални числа не е затворен за радикация. Поради това, мтъй като 2 е рационално число, квадратният корен от 2 е a ирационално число.
Вижте също: Еквивалентни фракции - фракции, които представляват еднакво количество
Подмножества от рационални числа
Ние знаем как подмножества или връзка на включване множествата, образувани от елементи, които принадлежат към множеството рационални числа. Има няколко възможни подмножества, като множеството от цели числа или естествен, защото всяко цяло число е рационално, точно както всяко естествено число е рационално.
Пример:
Набор от цели числа: Z = {... -3, -2, -1, 0.1, 2, 3, ...}.
Когато това се случи, ние казваме това Z ⸦ Q (Той гласи: Z се съдържа в Q или набор от цели числа се съдържа в набора от рационални числа.)
Има някои символи, които са от съществено значение за създаването на подмножества на Q, те са: +, - и *, които означават съответно положителни, отрицателни и ненулеви.
Примери:
Q * → (чете: набор от ненулеви рационални числа.)
Въпрос:+ → (чете: набор от положителни рационални числа.)
Въпрос:- → (чете: набор от отрицателни рационални числа.)
Въпрос:*+ → (чете: набор от положителни и ненулеви рационални числа.)
Въпрос:*- → (чете: набор от отрицателни и ненулеви рационални числа.)
Обърнете внимание, че всички тези множества са подмножества на Q, тъй като всички елементи принадлежат към множеството рационални числа. В допълнение към представените множества, можем да работим с няколко подмножества в Q, като множеството, образувано от нечетни числа, или братовчеди, или двойки, накрая, има няколко и няколко възможности за подмножества.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm