Ние знаем как многочлен израз, който показва алгебричната сума на мономи, които не са сходни, тоест полином е един алгебричен израз между мономи. Мономиум е алгебричен термин, който има коефициент и буквална част.
Когато има подобни термини между многочлените, е възможно да се изпълни намаляване на неговите условия в допълнение и / или изваждане на два полинома. Също така е възможно да се умножат два полинома чрез разпределителното свойство. Разделянето се извършва по метода на ключовете.
Прочетете също: Полиномиално уравнение - Уравнение, характеризиращо се с полином, равен на 0
Какво представляват мономите?
За да разберете какво е полином, е важно първо да разберете значението на монома. Алгебричен израз е известен като мономий, когато има цифри и букви и техните показатели разделени само чрез умножение. Числото е известно като коефициент, а буквите и техните показатели са известни като буквалната част.
Примери:
2x² → 2 е коефициентът; x² е буквалната част.
√5ax → √5 е коефициентът; ax е буквалната част.
b³yz² → 1 е коефициентът; b³yz² е буквалната част.
Какво е полином?
Полиномът не е нищо друго освен алгебрична сума от мономи, тоест те са по-мономи, разделени чрез събиране или изваждане един от друг.
Примери:
ax² + с + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Най-общо казано, полином може да има няколко термина, той се представя алгебрично от:
Theнехне + на(n-1) х(n-1) +... + на2x² + a1x + a
Вижте също: Какви са класовете на многочлените?
степен на многочлен
За да намерим степента на полинома, нека го разделим на два случая, когато той има една променлива и когато има повече променливи. Степента на полинома се дава от степен на най-големия от своите мономи и в двата случая.
Доста често се работи с полином, който има само една променлива. Когато това се случи, О по-голям мономий степен което показва степента на полинома е равно на най-големия експонентен показател на променливата:
Примери:
Единични променливи полиноми
а) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → имайте предвид, че променливата е x, а най-големият показател, който има, е 3, така че това е полином от степен 3.
б) 2г5 + 4y² - 2y + 8 → променливата е y, а най-големият показател е 5, така че това е полином от степен 5.
Когато полиномът има повече от една променлива в едночлен, за да се намери степента на този член, е необходимо добавяне-ако степента на експонентите на всяка от променливите. По този начин степента на полинома, в този случай, все още е равна на степента на най-големия моном, но е необходимо да се внимава да се добавят експонентите на променливите на всеки моном.
Примери:
а) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Анализирайки буквалната част на всеки термин, трябва:
xy → степен 2 (1 + 1)
x²y³ → степен 5 (2 + 3)
y³ → степен 3
Имайте предвид, че най-големият член има степен 5, така че това е полином от степен 5.
б) 8a²b - ab + 2a²b²
Анализирайки буквалната част на всеки мономий:
a²b → степен 3 (2 + 1)
ab² → степен 2 (1 + 1)
a²b² → степен 4 (2 + 2)
По този начин полиномът има степен 4.
Добавяне на полиноми
Към добавяне между два полинома, нека извършим намаляване на подобни мономи. Два монома са сходни, ако имат равни буквални части. Когато това се случи, е възможно да се опрости полиномът.
Пример:
Нека P (x) = 2x² + 4x + 3 и Q (x) = 4x² - 2x + 4. Намерете стойността на P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Намиране на подобни термини (които имат еднакви буквални части):
2x² + 4x + 3 + 4х² – 2x + 4
Сега нека добавим подобни мономи:
(2 + 4) x² + (4-2) х + 3 + 4
6x² + 2x +7
Полиномиално изваждане
Изваждането не се различава много от събирането. Важната подробност е това първо трябва да напишем противоположния полином преди да извършим опростяването на подобни термини.
Пример:
Данни: P (x) = 2x² + 4x + 3 и Q (x) = 4x² - 2x + 4. Изчислете P (x) - Q (x).
Полиномът -Q (x) е противоположен на Q (x), за да намерим противоположността на Q (x), просто обърнете знака на всеки от неговите членове, така че трябва да:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
След това ще изчислим:
P (x) + (-Q (x))
2х2 + 4х + 3 - 4х2 + 2х - 4
Опростявайки подобни термини, имаме:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Умножение на полиноми
За да извършим умножението на два многочлена, използваме познатото разпределителна собственост между двата полинома, опериращ умножението на мономите на първия полином с тези на втория.
Пример:
Нека P (x) = 2a² + b и Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Изчислете P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Прилагайки разпределителното свойство, ще имаме:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2-ри5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Сега, ако те съществуват, можем да опростим подобни термини:
2-ри5 + 6a³b + 8a²b² + аб + 3ab² + 4b³
Имайте предвид, че единствените подобни мономи са подчертани в оранжево, като опростяваме помежду им, като отговор ще имаме следния полином:
2-ри5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2-ри5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Също така достъп: Как да направя умножение на алгебрични дроби?
полиномиално деление
изпълнете деление на полиноми може да бъде доста трудоемко, използваме това, което се нарича метод на ключовете, но има няколко метода за това. Делението на два многочлена възможно е само ако степента на делителя е по-малка. Чрез разделяне на полинома P (x) на полинома D (x), ние търсим полином Q (x), такъв, че:
По този начин, чрез алгоритъма за разделяне, имаме: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → дивидент
D (x) → разделител
Q (x) → коефициент
R (x) → остатък
При работа с делението полиномът P (x) се дели на полинома D (x), ако остатъкът е нула.
Пример:
Нека оперираме чрез разделяне на полинома P (x) = 15x² + 11x + 2 на полинома D (x) = 3x + 1.
Искаме да споделим:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1-ва стъпка: разделяме първия мономий на дивидента с първия на делителя:
15x²: 3x = 5x
2-ра стъпка: умножаваме 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x и изваждаме резултата от P (x). За да се извърши изваждането, е необходимо да се обърнат знаците на резултата от умножението, като се намери полиномът:
3-та стъпка: извършваме разделянето на първия член на резултата от изваждането на първия член на делителя:
6x: 3x = 2
4-та стъпка: така че имаме (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Следователно трябва:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Прочетете също: Практическото устройство на Briot-Ruffini - разделяне на полиноми
Решени упражнения
Въпрос 1 - Каква трябва да е стойността на m, така че полиномът P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m да има степен 2?
А) 3
Б) -3
В) ± 3
Г) 9
Д) -9
Резолюция
Алтернатива А
За да има P (x) степен 2, коефициентът на x³ трябва да е равен на нула, а коефициентът на x² трябва да е различен от нула.
Така че ще направим:
м² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
От друга страна, имаме, че m + 3 ≠ 0.
И така, m ≠ -3.
По този начин имаме като решение на първото уравнение m = 3 или m = -3, но за второто имаме m ≠ -3, така че единственото решение, което прави P (x) да има степен 2, е: m = 3.
Въпрос 2 - (IFMA 2017) Периметърът на фигурата може да бъде записан от полинома:
А) 8x + 5
Б) 8x + 3
В) 12 + 5
Г) 12x + 10
Д) 12x + 8
Резолюция
Алтернатива D
От изображението, когато анализираме дадената дължина и ширина, знаем, че периметърът е сумата от всички страни. Тъй като дължината и височината са еднакви, просто умножаваме сумата от дадените полиноми по 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
