При изучаването на кръгове важно понятие, което трябва да се проучи, е това, че има допирателни линии към кръг. За да се извърши това изследване, е необходимо да се разберат относителните позиции на дадена точка спрямо окръжност. Ако не сте изучавали нещо, свързано с тази тема, вижте статията Относителни позиции между точка и окръжност.
Наблюдавайки положението на дадена точка спрямо окръжност, можем да заключим някои факти, свързани с допирателни линии. Известно е, че има три относителни позиции от точка до окръжност. За всяка позиция от това можем да заключим нещо за допирателната линия, която минава през тази точка.
• Точка вътре в кръга: Не можете да нарисувате допирателна линия през тази точка.
• Точка, принадлежаща на кръга: през тази точка можем да имаме само допирателна линия, тъй като тя е точката на допир.
• Точка извън кръга: от тази точка можем да нарисуваме две линии, допирателни до окръжността.
Следователно, за да определим уравнението на линията, допирателна към окръжност през дадена точка, трябва непременно да определим относителното положение на тази точка. Това положение зависи от разстоянието от точката до центъра на кръга.
Трябва да помним някои важни факти за аналитичната геометрия:
• Най-краткото разстояние от точка до права е отсечка, перпендикулярна на тази права;
• Допирателната линия винаги ще бъде перпендикулярна на лъча в допирателната му точка.
Свързвайки двата предишни факта, може да се твърди, че разстоянието от допирателната линия до центъра трябва да бъде равно на радиуса.
Следователно, за да определим уравнението на допирателната линия, трябва да анализираме положението на точката, която ще нарисуваме до линията и с това изчислете разстоянието на линията, която съдържа тази точка спрямо центъра на обиколка.
За по-добро разбиране на всички тези концепции ще работим с примери, които се нуждаят от тези размисли.
1) Определете уравнението (я) на допирателната (ите) линия (и) към дадената обиколка, изтеглена от точката P.
а) уравнение обиколка: x2+ у2 - 6x - 8y = 0 P (0.0)
С това можем да извлечем необходимата информация за нашия проблем:
С (3,4), r = 5.
Сега трябва да намерим относителното положение на точка P (0,0):
Следователно точка P е точката на допир.
Нека определим уравнението на права линия през точка P.
За да определим реално уравнението на линията, все още трябва да разберем какъв е наклонът на тази линия. Един от фактите, които видяхме в началото на тази статия, беше перпендикулярността на допирателната линия към радиуса на окръжността. Точка P е точка на допир, така че наклонът на линията, която минава през точка P и центъра, трябва да бъде перпендикулярен на допирателната линия. За това имаме връзка между перпендикулярните наклони.
С други думи, произведението на наклоните на перпендикулярни линии е равно на -1.
За да определим наклона на PC сегмента, трябва да използваме следния израз:
С това получаваме уравнението на допирателната права:
Друг начин за определяне на стойността на m би бил изчисляването на разстоянието от центъра до линията. Това разстояние е равно на радиуса. Да видим:
Когато точката е извън кръга, трябва да намерим точката на допир, като използваме разстоянието от центъра на кръга до допирателна линия, така че ще определим стойността на ъгловия коефициент на допирателната линия, което от своя страна ще определи уравнението на линията допирателна.
От Габриел Алесандро де Оливейра
Завършва математика
Училищен отбор на Бразилия
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm
