Прогресии: какви са те, типове, формули, примери

Ние знаем как прогресии частни случаи на числови последователности. Има два случая на прогресия:

• аритметична прогресия

• геометрична прогресия

За да бъдем прогресия, трябва да анализираме характеристиките на последователността, ако има това, което наричаме причина. когато прогресията е аритметика, причината не е нищо повече от константа, която добавяме към термин, за да намерим неговия приемник в последователността; сега, когато работите с прогресия геометрични, разум има подобна функция, само че в този случай причината е постоянният член, с който умножаваме член в последователността, за да намерим неговия приемник.

Поради предсказуемо поведение на прогресия, има специфични формули за намиране на който и да е член в тези последователности и също така е възможно да се разработи a формула за всеки от тях (т.е. една за аритметичната прогресия и една за геометричната прогресия), за да се изчисли сумата Отне първите условия на тази прогресия.

Прочетете също: Функции - за какво са и за какво са?

Количеството боб на реколта се държи като геометрична прогресия

числова последователност

За да разберем какво представляват прогресиите, първо трябва да разберем какви са те числови последователности. Както подсказва името, знаем числовата последователност a набор от числа, които спазват даден ред, добре дефинирани или не. За разлика от комплекти цифри, където редът няма значение, в числова последователност редът е от съществено значение, например:

Последователността (1, 2, 3, 4, 5) е различна от (5, 4, 3, 2, 1), която е различна от последователността (1, 5, 4, 3, 2). Дори ако елементите са еднакви, тъй като редът е различен, така че имаме различни последователности.

Примери:

Можем да напишем последователности, чиито образувания се виждат лесно:

а) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → последователност от четни числа, по-малки или равни на 12.

б) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → регресивна последователност от нечетни числа от 17 до 5.

в) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...) → известен като Последователност на Фибоначи.

г) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → въпреки че не е възможно да се опише тази последователност като останалите, лесно е да се предскаже какви ще бъдат следващите й термини.

В други случаи последователностите могат да имат пълна случайност в своите стойности, така или иначе, за да бъде последователност, важното е да има набор от подредени стойности.

до 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

б) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Колкото и да е възможно да се предскаже кои са следващите термини в буквата b, все още работим с продължение.

Общо взето, низовете винаги са представени в скоби (), по следния начин:

(The₁, а₂, The₃, а₄, The₅, а₆, а₇, а₈ ...) → безкрайна последователност

(The₁, а₂, The₃, а₄, The₅, а₆, а₇, а₈... а_не) → крайна последователност

И в двете имаме следното представяне:

The₁ → първи срок

The₂ → втори мандат

The₃ → трети срок

.

.

.

The_не → n-ти член

Наблюдение: От голямо значение е, когато представляват последователност, данните да бъдат затворени в скоби. Нотацията на последователността често се бърка със зададената нотация. Комплектът е представен в скоби, а в комплекта редът не е важен, което прави цялата разлика в този случай.

(1, 2, 3, 4, 5) → последователност

{1, 2, 3, 4, 5} → задаване

Има частни случаи на последователност, които са известни като прогресии.

Вижте също: Кой е основният принцип на броенето?

Какво представляват прогресиите?

Последователността се определя като прогресия, когато има a редовност от един термин в друг, известен като причина. Има два случая на прогресия, аритметична прогресия и геометрична прогресия. За да знаем как да разграничим всеки от тях, трябва да разберем каква е причината за прогресията и как тази причина взаимодейства с условията на последователността.

Когато от един термин до друг в последователността имам a постоянна сума, тази последователност се определя като прогресия, а в този случай е a аритметична прогресия. Тази стойност, която непрекъснато събираме, е известна като съотношение. Другият случай, т.е. когато последователността е a геометрична прогресия, от един термин до друг има a умножение по постоянна стойност. Аналогично тази стойност е съотношението на геометричната прогресия.

Примери:

а) (1, 4, 7, 10, 13, 16 ...) → забележете, че винаги добавяме 3 от един член към другия, така че имаме аритметична прогресия на отношение, равно на 3.

б) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → в този случай ние винаги умножаваме по 10 от единия до другия член, занимавайки се с геометрична прогресия на съотношение 10.

в) (0, 2, 8, 26 ...) → в последния случай има само една последователност. За да намерим следващия член, умножаваме термина по 3 и добавяме 2. Този случай, въпреки че има закономерност за намиране на следващите членове, това е само последователност, а не аритметична или геометрична прогресия.

аритметична прогресия

Когато работим с числови последователности, тези последователности, в които можем да предскажем следващите им членове, са доста повтарящи се. За да бъде тази последователност класифицирана като a аритметична прогресия, трябва да има причина а. От първия срок, следващият срок е конструиран от сумата от предходния срок с причината r.

Примери:

а) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Това е последователност, която може да бъде класифицирана като аритметична прогресия, тъй като причината r = 3 и първият член е 4.

б) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 ...)

Тази последователност е аритметична прогресия с основателна причина. r = -5, а първият му член е 7.

• Условия на PA

В много случаи нашият интерес е да намерим конкретен термин в прогресията, без да се налага да пишем цялата последователност. Знаейки стойността на първия член и съотношението, е възможно да се намери стойността на всеки член в аритметична прогресия. За да намерим термините на ариметична прогресия, използваме формулата:

The_не =₁+ (n - 1) r

Пример:

Намерете 25-ия член на P.A, чието съотношение е 3, а първият член е 12.

Данни r = 3,₁ = 12. Искаме да намерим 25-ия член, т.е. n = 25.

The_не =₁+ (n - 1) r

The₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

The₂₅ = 12 + 24 · 3

The₂₅ = 12 + 72

The₂₅ = 84

• Общ срок на P.A.

Общата формула на термина е a начин за опростяване на формулата на термина AP за по-бързо намиране на всеки термин за прогресия. След като първият член и причината са известни, достатъчно е да заместим във формулата термин на P.A., за да намерим общия член на аритметичната прогресия, който зависи само от стойността на не.

Пример:

Намерете общия термин на P.A., който има r = 3 и₁ = 2.

The_не = 2 + (n -1) r

The_не = 2 + (n -1) 3

The_не = 2 + 3n - 3

The_не = 2n - 1

Това е общият термин на П.А., който служи за намиране на който и да е термин в тази прогресия.

• Сбор на условията на PA

НА сбор от термини на PA би било доста трудоемко, ако е необходимо да се намери всеки от неговите условия и да се съберат. Има формула за изчисляване на сумата на всички не първи членове на аритметична прогресия:

Пример:

Намерете сумата на всички нечетни числа от 1 до 100.

Знаем, че нечетните числа са аритметична прогресия на съотношение 2: (1, 3, 5, 7... 99). В тази прогресия има 50 термина, тъй като от 1 до 100 половината от числата са четни, а другата половина е нечетна.

Следователно трябва:

n = 50

The₁ = 1

The_не = 99

Също така достъп: Функция 1-ва степен - практическо използване на аритметичната прогресия

Геометрична прогресия

Низът също може да бъде класифициран като прогресия геометрични (PG). За да бъде една последователност геометрична прогресия, тя трябва да има причина, но в този случай, за да намерим следващия член от първия член, ние изпълняваме умножение на съотношението с предходен мандат.

Примери:

а) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → Геометрична прогресия на съотношение 2 и първият му член е 3.

б) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → Геометрична прогресия на съотношение 10 и първият му член е 20.

• Срок на PG

В геометрична прогресия ние представяме причината за писмото Какво. Срокът на геометрична прогресия може да се намери по формулата:

The_не =₁ · Какво^{n - 1}

Пример:

Намерете 10-ия член на PG, знаейки това Какво = 2 и₁ = 5.

The_не =₁ · Какво^{n - 1}

The₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

The₁₀ = 5 · 2⁹

The₁₀ = 5 · 512

The₁₀ = 2560

• Общ срок на PG

Когато знаем първия член и причината, е възможно да се генерира формула на общия термин от геометрична прогресия, която зависи изключително от стойността на не. За това просто трябва да заменим първия член и съотношението и ще намерим уравнение, което зависи само от стойността на не.

Използвайки предишния пример, където съотношението е 2, а първият член е 5, общият термин за този личен лекар е:

The_не =₁ · Какво^{n - 1}

The_не = 5 · 2^{n - 1}

• Сбор на термините на PG

Добавянето на всички условия на прогресия би било много работа. В много случаи писането на цялата последователност, за да се постигне тази сума, отнема много време. За да се улесни това изчисление, геометричната прогресия има формула, която служи за изчисляване на сбор не първи елементи на краен PG:

Пример:

Намерете сумата от първите 10 членове на GP (1, 2, 4, 8, 16, 32 ...).

Имайте предвид, че съотношението на този PG е равно на 2.

The₁ = 1

Какво = 2

не = 10

Прочетете също: Експоненциална функция - практическо използване на геометричната прогресия

решени упражнения

Въпрос 1 - В продължение на няколко дни учените наблюдават определена бактериална култура. Един от тях анализира растежа на тази популация и забеляза, че на първия ден има 100 бактерии; във втория - 300 бактерии; в третия - 900 бактерии и т.н. Анализирайки тази последователност, можем да кажем, че тя е:

А) аритметична прогресия на съотношение 200.

Б) геометрична прогресия на съотношение 200.

В) ариметична прогресия на причината 3.

Г) геометрична прогресия на съотношение 3.

Д) последователност, но не и прогресия.

Резолюция

Алтернатива D.

Анализирайки последователността, имаме термините:

Обърнете внимание, че 900/300 = 3, както и 300/100 = 3. Следователно работим с PG от съотношение 3, тъй като умножаваме по три от първия член.

Въпрос 2 - (Enem - PPL) За начинаещи в бягането беше предвиден следният дневен план за тренировка: бягайте 300 метра през първия ден и увеличавайте 200 метра на ден от втория. За да отчете представянето си, той ще използва чип, прикрепен към маратонката си, за да измери разстоянието, изминато в тренировката. Помислете, че този чип съхранява в паметта си максимум 9,5 км пробег / разходка и трябва да бъде поставен в началото на обучението и изхвърлен след изчерпване на пространството за резерв на данни. Ако този спортист използва чипа от първия ден на тренировка, в продължение на колко последователни дни този чип ще може да съхранява пробега от този дневен план за обучение?

А) 7

Б) 8

В) 9

Г) 12

Д) 13

Резолюция

Алтернатива Б.

Анализирайки ситуацията, знаем, че имаме PA с причина 200 и начален край, равен на 300.

Освен това знаем, че сумата S_не = 9,5 км = 9500 метра.

С тези данни нека намерим термина а_не, което е броят на километрите, записани в последния ден на съхранение.

Също така си струва да се помни, че всеки термин a_не може да се запише като:

The_не =₁ + (n - 1)r

Като се има предвид уравнението 200n² + 400n - 19000 = 0, можем да разделим всички членове на 200, опростявайки уравнението и да намерим: n² + 2n - 95 = 0.

За делтата и Баскара трябва да:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Знаем, че 8,75 съответства на 8 дни и няколко часа. В този случай броят на дните, в които може да се извърши измерването, е 8.

От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm