За изчисляването на детерминанти на квадратни матрици от порядък, по-малък или равен на 3 (n≤3), имаме някои практически правила за извършване на тези изчисления. Когато обаче поръчката е по-голяма от 3 (n> 3), много от тези правила не са приложими.
Така че ще видим теоремата на Лаплас, която, използвайки кофакторната концепция, води изчисляването на детерминанти до правила, приложими за всякакви квадратни матрици.
Теоремата на Лаплас се състои в избор на един от редовете (ред или колона) на матрицата и добавяне на произведенията на елементите на този ред от съответните им кофактори.
Алгебрична илюстрация:
Нека разгледаме един пример:
Изчислете детерминантата на матрица C, като използвате теоремата на Лаплас:
Според теоремата на Лаплас трябва да изберем ред (ред или колона), за да изчислим детерминантата. Нека използваме първата колона:
Трябва да намерим стойностите на кофактора:
По този начин, според теоремата на Лаплас, детерминантата на матрица C се дава от следния израз:
Имайте предвид, че не беше необходимо да се изчислява кофакторът на матричния елемент, който беше равен на нула, в края на краищата, когато умножаваме кофактора, резултатът така или иначе ще бъде нула. Следователно, когато попаднем на матрици, които имат много нули в един от редовете си, използването на теоремата на Лаплас става интересно, тъй като няма да е необходимо да се изчисляват няколко кофактори.
Нека да разгледаме пример за този факт:
Изчислете детерминантата на матрица B, като използвате теоремата на Лаплас:
Обърнете внимание, че втората колона е редът, който има най-голямо количество нули, така че ще използваме този ред за изчисляване на детерминанта на матрицата чрез теоремата на Лаплас.
Следователно, за да определите детерминантата на матрица B, просто намерете кофактора A22.
Следователно можем да завършим изчисленията на детерминанта:
дет Б. = (- 1). (- 65) = 65
От Габриел Алесандро де Оливейра
Завършва математика
Училищен отбор на Бразилия
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm
