изчислете факториал на число има смисъл само когато работим с естествени числа. Тази операция е доста често срещана в комбинаторен анализ, улесняващо изчисляването на аранжименти, пермутации, комбинации и други проблеми, включващи броене. Факториалът е представен със символа “!”. Определяме го като n! (n факториал) до умножение на n от всичките му предшественици докато достигнете 1. не! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Прочетете също: Основен принцип на броенето - основна концепция на комбинаторния анализ
Какво е факториал?
Факториал е много важна операция за изучаване и развитие на комбинаторния анализ. В математиката числото, последвано от удивителен символ (!) е известен като факториал, например x! (x факториал).
Ние знаем като факториал на a естествено число The умножавайки това число по неговите предшественици с изключение на нула, т.е.:
не! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Забележително е, че за да има смисъл тази операция, n е естествено число, тоест не изчисляваме факториал на отрицателно число, дори на десетично число или на дроби.
факториално изчисление
За да намерите факториал на число, просто изчислете продукта. Също така имайте предвид, че факториалът е операция, която кога увеличете стойността на n, резултатът също ще се увеличи много.
Примери:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
По дефиниция имаме:
0! = 1
1! = 1
Факторни операции
За да решавате факториални операции, е важно да внимавате да не допускате грешки. Когато ще събираме, изваждаме или умножаваме два факториала, е необходимо да изчислим всеки един от тях поотделно. Само подразделението има специфични начини за извършване на опростявания. Не правете грешката да извършите операцията и да запазите факториала, или за събиране и изваждане или за умножение.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Когато решаваме някоя от тези операции, трябва да изчислим всеки от факториалите.
Примери:
а) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
б) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
в) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Вижте също: Как да решим уравнението с факториал?
Факторно опростяване
Разделенията са доста повтарящи се. Във формули на комбинация, подреждане и пермутация с повторение, винаги ще прибягваме до опростяване за решаване на проблеми, включващи факториал. За това нека следваме няколко стъпки.
Пример:
1-ва стъпка: идентифицирайте най-големия от факториалите - в случая това е 8! Сега, анализирайки знаменателя, който е 5!, нека напишем умножението на 8 от неговите предшественици, докато стигнем до 5 !.
Факториалът на число n, тоест n!, може да бъде пренаписан като умножение на n на k!. Поради това,
не! = n · (n -1) · (n- 2) ·... · k!, така че нека пренапишем 8! като умножението от 8 на 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Така че нека пренапишем причината като:
2-ра стъпка: след пренаписване на причина, възможно е да опростите числителя със знаменателя, тъй като 5! тя е както в числителя, така и в знаменателя. След опростяване просто извършете умножението.
Пример 2:
Комбинаторен и факторен анализ
При изпълнение на по-нататъшно проучване в комбинаторния анализ, факториалът на число винаги ще се появи. Основните групи в комбинаторния анализ, които са пермутация, комбинация и подреждане, използват факториал на число в техните формули.
Пермутация
НА пермутация и пренареждане на всички елементи на набор. За да изчислим пермутация, прибягваме до факториал, тъй като пермутацията на n елемента се изчислява по:
Pне = n!
Пример:
Колко анаграми можем ли да строим с името ХЕЙТОР?
Това е типичен проблем с пермутацията. Тъй като в името има 6 букви, за да изчислите броя на възможните анаграми, просто изчислете P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Също така достъп: Пермутация с повтарящи се елементи: как да се реши?
Договорености
Изчисли договорености изисква и овладяване на факториал на число. Подредбата, подобно на пермутацията, е образуването на пренареждане. Разликата е, в аранжимента, ние пренареждаме част от комплекта, тоест искаме да знаем колко възможни пренареждания можем да формираме, като изберем количество k от едно комплект с n елемента.
Пример:
Във фирма има 6 кандидати за управление на институцията, а двама ще бъдат избрани за длъжностите директор и заместник-директор. Колко са възможните резултати, като знаете, че ще бъдат избрани с гласуване?
В този случай ще изчислим подредбата на 6, взети от 2 на 2, тъй като има 6 кандидати за две свободни места.
Комбинация
В комбинацията, както и в останалите, е необходимо да се овладее факториалът на число. Определяме като комбинация Вие подмножества от набор. Разликата е, че в комбинацията няма пренареждане, защото редът не е важен. Така че ние изчисляваме колко подмножества с k елемента можем да формираме в набор от n елемента.
Пример:
Ще бъде избрана комисия от 3 ученици, която да представлява класа. Знаейки, че има 5 кандидати, колко комисии могат да бъдат сформирани?
Прочетете също: Аранжировка или комбинация?
Решени упражнения
Въпрос 1 - Относно факториала на числото преценете следните твърдения.
I). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
А) Само аз съм истина.
Б) Вярно е само II.
В) Вярно е само III.
Г) Вярно е само I и II.
Д) Само II и II са верни.
Резолюция
Алтернатива А.
I) Вярно.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Невярно.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Невярно.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Въпрос 2 - (UFF) Продуктът 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 еквивалентен ли е на?
А) 20: 2
Б) 2 · 10!
В) 20: 210
Г) 210· 10!
Д) 20!: 10!
Резолюция
Алтернатива D.
Разглеждайки произведението на всички четни числа от 2 до 20, ние знаем, че:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Така че можем да пренапишем като 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика