Вие комплексни числа възникват от необходимостта от разрешаване уравнения Това има корен от отрицателно число, което дотогава не беше възможно да се реши чрез работа с реални числа. Комплексните числа могат да бъдат представени по три начина: a алгебрична форма (z = a + bi), съставен от реална част The и въображаема част Б.; The Геометрична форма, представен в сложната равнина, известна също като равнината на Арганд-Гаус; а твоя? И твоя тригонометрична форма, известен също като полярната форма. Въз основа на тяхното представяне, докато работим с числов набор, сложните числа имат добре дефинирани операции: събиране, изваждане, умножение, деление и потенциране.
Чрез геометричното представяне в комплексната равнина ние също дефинираме модула (представен от |z|) на комплексно число - което е разстоянието от точката, представляваща комплексното число до началото - и какъв е аргументът на комплексно число - това е ъгълът, образуван между хоризонталната ос и трасето, което свързва началото с точката, представляваща числото комплекс.
нужда от комплексни числа
В математиката разширяването на числово множество в нов набор, през цялата история, беше нещо доста често срещано. Случва се така, че в хода на него математиката се е развила и след това да отговарят на нуждите на времето, беше забелязано, че има числа, които не принадлежат към числовия набор, за който се отнася. Така беше с появата на числови множества цели числа, рационални, ирационални и реални и не е по-различно, когато е необходимо да се разшири наборът от реални числа до този на комплексните числа.
Когато се опитваме да разрешим квадратни уравнения, доста често срещано е, че намираме квадратен корен от отрицателно число, което е невъзможно да бъде решено в множеството реални числа, оттук и необходимостта от комплексни числа. В началото на изследването на тези числа са получени приноси от важни математици, като Гиралмо Кардоно, но техният набор е формализиран от Гаус и Арганд.
Прочетете също: Геометрично представяне на сумата от комплексни числа
алгебрична форма на комплексно число
При опит за решаване на квадратно уравнение като x² = –25, често се казва, че е неразрешимо. В опит за алгебризиране обаче алгебрично представяне, което прави възможно извършването на операции с тези числа, въпреки че не можете да изчислите квадратния корен от отрицателно число.
За да се улесни разрешаването на ситуации, в които работите с корен квадратен на отрицателно число, въображаема единица.
И така, анализирайки представеното уравнение x² = -25, имаме, че:
По този начин решенията за уравнението са -5i e5i.
За да се определи алгебричната форма, писмо аз, познат като въображаема единица на комплексно число. Комплексното число е представено от:
z = The + Б.i
На какво The и Б. са реални числа.
The: реална част, обозначена с a = Re (z);
Б.: въображаема част, обозначена с Im (z);
i: въображаема единица.
Примери
The) 2 + 3i
Б) -1 + 4i
° С) 5 – 0,2i
д) -1 – 3i
когато реалната част е нула, номерът е известен като чисто въображаемонапример -5i и 5i те са чисти въображаеми, защото нямат реална част.
Когато въображаемата част е нула, комплексното число също е реално число.
Операции с комплексни числа
Както всеки цифров набор, операциите трябва да бъдат добре дефинираниследователно е възможно да се изпълнят четирите основни операции на комплексни числа, като се вземе предвид представената алгебрична форма.
Добавяне на две комплексни числа
За извършване на допълнение на две комплексни числа z1 ez2, ще добавим реалната част на z1 ez2 и съответно сумата на въображаемата част.
Бъда:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)i
Пример 1
Осъществяване на сумата на z1 и z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 +z2= 3 + 5i
Пример 2
Осъществяване на сумата на z1 и z2.
z1 = 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1+z2 = (5 – 3) + 0i
z1 +z2= 3 + 0i = 3
Вижте също: Геометрично представяне на сумата от комплексни числа
Изваждане на две комплексни числа
Преди да говорим за изваждане, трябва да определим какво е обратно на комплексно число, т.е. z = a + bi. Обратното на z, представено от –z, е комплексното число –z = –a –bi.
За да извършите изваждането между z1и -z2, както и в допълнение, ще направим изваждане между реални части и между въображаеми части поотделно, но е необходимо да се разбере, че -z2 това е обратното на комплексно число, което налага да се играе играта със знаци.
Пример 1
Извършване на изваждането на z1 и z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1–z2= 1 + 1i = 1+ i
Пример 2
Извършване на изваждането на z1 и z2.
z1= 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1–z2= (5 + 3) + (–4)i
z1 –z2= 8 + (–4)i
z1 –z2= 8 –4i
Въображаеми единични сили
Преди да говорим за умножение, трябва да разберем силата на въображаемата единица. В търсенето на метод за изчисляване на мощностите на iне, необходимо е да се осъзнае, че тези сили се държат циклично. За това нека изчислим някои потенции в i.
Оказва се, че следващите сили не са нищо повече от неговото повторение, имайте предвид, че:
i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i
Докато продължаваме да изчисляваме степента, отговорите винаги ще бъдат елементи от множеството {1, i, –1, -i}, след което да се намери мощността на уреда iне, ще разделим n (степента) на 4, а Почивкаот това разделение (r = {0, 1, 2, 3}) ще бъде новият експонент на i.
Пример1
Изчисляване на i25
Когато разделим 25 на 4, коефициентът ще бъде 6, а остатъкът ще бъде равен на 1. Така че трябва да:
i 25 = i1 = i
Пример 2
Изчисляване на i 403
Когато разделим 403 на 4, коефициентът ще бъде 100, защото 100 · 4 = 400, а останалите ще бъдат 3, така че трябва да:
i 403 =i 3 = -и
Умножение на комплексни числа
За да извършим умножението на две комплексни числа, нека приложим разпределителна собственост. Бъда:
z1= a + bi
z2= c + di, след това продуктът:
z1 · z2 = (a + bi) (c + di), прилагайки разпределителното имущество,
z1 · z2 = ac + рекламаi + cbi + bdi 2, но както видяхме, i ² = -1
z1 · z2 = ac + рекламаi + cbаз - bd
z1 · z2= (променлив ток – bd) + (ad + cb)i
Използвайки тази формула, е възможно да се намери произведението на произволни две комплексни числа, но в a Като цяло не е необходимо да се украсява, тъй като за въпросното изчисление ние просто прилагаме свойството разпределителен.
Пример
Изчисляване на произведението на (2 + 3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i– 12i ², помня това i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i+ 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Също така достъп: Сложно число, събиране, изваждане и умножение
Конюгат на сложно число
Преди да говорим за деление, трябва да разберем какво е спряганото на комплексно число. Концепцията е проста, за да се намери конюгатът на комплексно число, просто да обменятmos знакът на въображаемата част.
деление на две комплексни числа
За извършване на деление на две комплексни числа, трябва да умножим фракцията по конюгата на знаменателя, така че коя е реалната част и коя имагинерна част е добре дефинирана.
Пример
Изчисляване на делението на (6 - 4i): (4 + 2i)
Вижте също: Противоположно, конюгирано и равенство на комплексни числа
Сложна равнина или равнина на Арганд-Гаус
Известен като сложен план или Планrgand-гаус, той позволява на представяне в геометрична форма на комплексно число, този план е адаптация в Декартова равнина за представяне на комплексни числа. Хоризонталната ос е известна като реална ос Re (z), а вертикалната ос е известна като ос на въображаемата част Im (z). Така че комплексното число, представено от a + bi генерира точките в комплексната равнина, образувана от подредената двойка (a, b).
Пример
Представяне на числото 3 + 2i в геометричната форма Z (3,2).
Комплексно число по модул и аргумент
Модулът на геометрично сложно число е разстояние от точка (a, b) което представлява това число в комплексната равнина към произхода, т.е. точката (0,0).
Както виждаме, | z | е хипотенузата на правоъгълен триъгълникследователно може да се изчисли чрез прилагане на Питагорова теорема, така че трябва да:
Пример:
Изчисляване на модула на z = 1 + 3i
О Theаргумент на комплексно число, геометрично, е ъгъл образувана от хоризонталната ос и | z |
За да намерим стойността на ъгъла, трябва да:
Целта е да се намери ъгълът θ = arg z.
Пример:
Намерете аргумента за комплексно число: z = 2 + 2i:
Тъй като a и b са положителни, знаем, че този ъгъл е в първия квадрант, така че нека изчислим | z |.
Познавайки | z |, е възможно да се изчислят синусът и косинусът.
Тъй като в този случай a и b са равни на 2, тогава, когато изчислим sinθ, ще намерим същото решение за косинуса.
Знаейки стойностите на sinθ и cosθ, като се консултирате с таблицата на забележимите ъгли и знаете това θ принадлежи на първия квадрант, така че θ може да се намери в градуси или радиани, така че заключаваме Какво:
Тригонометрична или полярна форма
Представянето на комплексното число в тригонометрична форма възможно е само след като разберем концепцията за модул и аргумент. Въз основа на това представяне се разработват важни концепции за изучаване на комплексни числа на по-напреднало ниво. За да изпълним тригонометричното представяне, ще запомним неговата алгебрична форма z = a + bi, но когато анализираме комплексната равнина, трябва да:
Чрез заместване в алгебрична форма на стойностите на a = | z | cos θ и b = | z | sen θ, трябва да:
z = a + bi
Със z = | z | cos θ + | z | senθ аз, поставяне | z | в доказателство стигаме до формулата на тригонометричната форма:
z = | z | (cos θ + i · Грех θ) |
Пример: Напишете, в тригонометрична форма, числото
За да пишем в тригонометрична форма, ни трябват аргументът и модулът на z.
1-ва стъпка - Изчисляване на | z |
Познавайки | z |, е възможно да се намери стойността на θ, като се направи справка с таблицата на забележимите ъгли.
Вече е възможно числото z да се запише в тригонометричната му форма с ъгъла в градуси или с ъгъла, измерен в радиани.
Прочетете също: Излъчване на комплексни числа в тригонометрична форма
решени упражнения
Въпрос 1 - (UFRGS) Като се имат предвид комплексните числа z1 = (2, –1) и z2 = (3, x), е известно, че произведението между z1 и z2 е реално число. Значи x е равно на:
а) -6
б) -3/2
в) 0
г) 3/2
д) 6
Резолюция
Алтернатива D.
За да бъде продуктът реално число, тогава въображаемата част е равна на нула.
Като пишем тези числа в алгебрична форма, трябва да:
z1 = 2 – 1i и z2 = 3 + xi
z1 · Z2 = (2 – 1i) (3 + xi)
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3аз - хi ²
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i + х
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)i
Тъй като нашият интерес е въображаемата част да е равна на нула, тогава ще решим за 2x - 3 = 0
Въпрос 2 - (UECE) Ако i е комплексното число, чийто квадрат е равен на -1, тогава стойността на 5i 227 + i 6 – i 13 това е същото като:
The) i + 1
б) 4i –1
в) -6i –1
г) -6i
Резолюция
Алтернатива В.
За да се реши този израз, е необходимо да се намери остатъкът от всяко от числата, разделено на 4.
227: 4 води до коефициент 56 и остатък 3.
i 227 = i 3 = –i
6: 4 води до коефициент 1 и остатък 2.
i 6 = i 2 = –1
13: 4 води до коефициент 3 и остатък 1.
i 13 = i1 = i
Така че трябва да:
5i 227 + i 6 – i 13
5 (–i) + (–1) – i
–5i –1 – i
–6i – 1
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
