НА числова последователност, както подсказва името, е поредица от числа и обикновено има закон за повтаряне, който дава възможност да се предскаже какви ще бъдат следващите условия опознаване на вашите предшественици. Можем да събираме числови последователности с различни критерии, като последователност от четни числа или последователност от числа делими на 4, последователност от прости числа, последователност от перфектни квадрати, накрая, има няколко възможности за последователности числови.
Когато класираме последователността по брой термини, последователността може да бъде крайна или безкрайна. Когато класифицираме последователността по отношение на поведението на термините, тази последователност може да бъде възходящ, низходящ, трептящ или постоянен. Има специални случаи на последователности, които са известни като аритметични прогресии и геометрични прогресии.
Прочетете също: Как да изчислим soma на условията на a аритметична прогресия?
Обобщение на последователността на числата
Числовата последователност не е нищо повече от поредица от числа.
-
Някои примери за числова последователност:
последователност от четни числа (0,2,4,6,8…);
поредица от натуралисти по-малко от 6 (1, 2, 3, 4, 5);
последователност от прости числа (2,3,5,7,11, ...).
Законът за образуване на прогресия е правилото, което управлява тази последователност.
-
Последователността може да бъде крайна или безкрайна.
Окончателно: когато имате ограничен брой термини.
Безкрайно: когато имате неограничен брой условия.
-
Последователността може да бъде нарастваща, невярваща, постоянна или колебателна.
Полумесец: когато срокът е винаги по-малък от неговия наследник.
Низходящ: когато терминът винаги е по-голям от неговия наследник.
Постоянно: когато терминът винаги е равен на неговия наследник.
Трептящи: когато има термини, по-големи и по-малки от неговия наследник.
Има специални случаи на последователност, известна като аритметична прогресия или геометрична прогресия.
Закон за появата на последователността на числата
Ние знаем като числова последователност всяка последователност, образувана от числа. Обикновено демонстрираме последователности, като изброяваме техните термини, затворени в скоби и разделени със запетая. Този списък е известен като закон за възникване на числова последователност.
(The1, а2, а3,..., ане)
The1 → 1-ви член на последователността
The2 → 2-ри член на последователността
The3 → 3-ти член на последователността
Theне → n-ти член на последователността
Нека разгледаме някои примери по-долу.
Пример 1:
Закон за възникване на поредица от числа кратни от 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Пример 2:
Закон за възникване на последователността на прости числа:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Пример 3:
Закон за възникване на цяло отрицателно:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Пример 4:
Последователност от нечетни числа, по-малки от 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Прочетете също: Какви са свойствата на нечетните и четните числа?
Класификация на числовите последователности
Има два различни начина за класифициране на низ. Първият е по отношение на размера на сроковете, начинът, по който една последователност може да бъде крайна или безкрайна. Другият начин за класифициране на последователностите е по отношение на тяхното поведение. В този случай те се класифицират като нарастващи, намаляващи, постоянни или колебателни.
Класификация по сумата на термините
→ крайна числова последователност
Последователността е крайна, когато е има ограничен брой термини.
Примери:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ безкрайна последователност от числа
Последователността е безкрайна, когато има неограничен брой термини.
Примери:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Рейтинг на поведението
→ Възходяща последователност на числата
Последователността е възходяща когато някой срок е винаги по-малък от неговия наследник в последователност.
Примери:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Низходяща последователност от числа
Последователност е низходяща когато някой срок е винаги по-голям от неговия наследник в последователност.
Примери:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ последователност от постоянни числа
Последователността е постоянна, когато всички термини в последователността са еднакви:
Примери:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Осцилираща последователност на числата
Последователността се люлее когато има термини, които са по-големи и термини, които са по-малки че съответните им наследници в последователността:
Примери:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Закон за формиране на последователността на числата
Някои последователности могат да бъдат описани чрез a формула, която генерира вашите условия. Тази формула е известна като закон на образуването. Използваме закона за образуването, за да намерим всеки термин в последователността, когато знаем поведението му.
Пример 1:
Следната последователност се формира от перфектни квадрати:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Можем да опишем тази последователност чрез закона за формирането:
Theне = (n - 1) ²
n → номер на термина
Theне → срокът на длъжността не
С тази формула е възможно да се знае например терминът, който заема позиция номер 10 в последователността:
The10 = ( 10 – 1) ²
The10 = 9²
The10 = 81
Пример 2:
Избройте условията на последователността, чийто закон за образуване ене = 2n - 5.
За да изброим, ще намерим първите термини в последователността:
1-ви срок:
Theне = 2n - 5
The1 = 2·1 – 5
The1 = 2 – 5
The1 = – 3
2-ри мандат:
Theне = 2n - 5
The2 = 2·2 – 5
The2 = 4 – 5
The2 = – 1
3-ти мандат:
Theне = 2n - 5
The3 = 2·3 – 5
The3 = 6 – 5
The3 = 1
4-ти мандат:
Theне = 2n - 5
The4 = 2·4 – 5
The4 = 8 – 5
The4 = 3
5-ти мандат:
The5 = 2n - 5
The5 = 2·5 – 5
The5 = 10 – 5
The5 = 5
Така че последователността е:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Вижте също: Римски числа — числова система, която използва букви за представяне на стойности и величини
Аритметична прогресия и геометрична прогресия
Те съществуват специални случаи на последователности които са известни като аритметична прогресия и геометрична прогресия. Последователността е прогресия, когато има причина за термин за нейния наследник.
аритметична прогресия
Когато знаем първия член в последователността и, за да намерим втория,добавяме първата към стойност r и за да намерим третия член, добавяме втория към същата тази стойност. rи т.н., низът се класифицира като a аритметична прогресия.
Пример:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Това е аритметична прогресия на отношение, равно на 4 и първи член, равен на 1.
Имайте предвид, че за да намерите наследника на число в последователността, просто добавете 4, така че казваме, че 4 е причината за тази аритметична прогресия.
Геометрична прогресия
В геометрична прогресия, също има причина, но в този случай, за да намерим наследник на даден член, трябва да умножим термина по отношението.
Пример:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Това е геометрична прогресия на съотношение, равно на 3 и първи член, равен на 2.
Имайте предвид, че за да намерите наследника на число в тази последователност, просто умножете по 3, което прави съотношението на тази геометрична прогресия 3.
Решени упражненияза числовата последователност
Въпрос 1 - Анализирайки последователността (1, 4, 9, 16, 25, ...), можем да кажем, че следващите две числа ще бъдат:
А) 35 и 46.
Б) 36 и 49.
В) 30 и 41.
Г) 41 и 66.
Резолюция
Алтернатива Б.
За да се намерят условията на последователността, е важно да се намери закономерност в последователността, тоест да се разбере нейният закон за възникване. Имайте предвид, че от първия член към втория член добавяме 3; от втория към третия член добавяме 5; от третия до четвъртия член и от четвъртия до петия член, добавяме съответно 7 и 9, така че сумата се увеличава с две единици към всеки член на последователността, тоест в следващия ще добавим 11, след това 13, след това 15, след това 17 и т.н. последователно. За да намерим наследника на 25, ще добавим 11.
25 + 11 = 36.
За да намерим наследника на 36, ще добавим 13.
36 + 13 = 49
Така че следващите условия ще бъдат 36 и 49.
Въпрос 2 - (AOCP Institute) След това е представена цифрова последователност, така че елементите на тази последователност да са били подредени, подчиняващи се на (логически) закон на образуването, където x и y са цели числа: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Наблюдавайки тази последователност и намирайки стойностите на x и y, следвайки закона за образуване на дадената последователност, е правилно да се твърди, че
A) x е число, по-голямо от 30.
Б) y е число по-малко от 5.
В) сумата от x и y води до 25.
Г) произведението на х и у дава 106.
Д) разликата между у и х в този ред е положително число.
Резолюция
Алтернатива В.
Искаме да намерим 7-ми и 8-ми член на тази последователност.
Анализирайки закона за възникване на последователността (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), е възможно да се види, че има логика за нечетните термини (1-ви член, 3-ти член, 5-и член... ). Обърнете внимание, че третият член е равен на първия член минус 2, тъй като 24 - 2 = 22. Използвайки същата тази логика, 7-мият член, представен с x, ще бъде 5-ият член минус 2, тоест x = 20 - 2 = 18.
Съществува подобна логика за четните членове (2-ри член, 4-ти член, 6-и член ...): 4-ият член е 2-ият член минус 2, тъй като 13 - 2 = 11 и т.н. Искаме 8-ми член, представен от y, който ще бъде 6-ти член минус 2, така че y = 9 - 2 = 7.
Имаме x = 18 и y = 7. Анализирайки алтернативите, имаме, че x + y = 25, т.е. сумата от x и y води до 25.
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm