НА модулно уравнение е a уравнение че в първия или втория член, има термини в модул. Модулът, известен също като абсолютна стойност, е свързан с разстоянието, което числото има до нула. Тъй като говорим за разстояние, модулът на числото винаги е положителен. Решаването на задачи с модулно уравнение изисква прилагане на дефиницията по модул, обикновено разделяме уравнението на два възможни случая:
когато това, което е вътре в модула, е положително и
когато това, което е вътре в модула, е отрицателно.
Прочетете също: Каква е разликата между функция и уравнение?
един модул с реално число
За да може да се решават задачи за модулно уравнение, е необходимо да се запомни дефиницията по модул. Модулът винаги е същият като разстояние, което числото трябва да е нула, и да представлява модула на число не, ние използваме права линия, както следва: |не|. За изчисляване на |не|, разделихме на два случая:
Следователно можем да кажем, че |не| е същото като собственото не когато е положително число или равно на нула, а във втория случай |
не| е равно на обратното на не ако е отрицателно. Не забравяйте, че обратното на отрицателното число винаги е положително, така че |не| винаги има резултат, равен на положително число.Примери:
а) | 2 | = 2
б) | -1 | = - (- 1) = 1
Вижте също: Как да решим логаритмично уравнение?
Как да решим модулно уравнение?
За да се намери решението на модулно уравнение, е необходимо да се анализира всяка една от възможностите, т.е. да се раздели, винаги в два случая, всеки един от модулите. В допълнение към познаването на дефиницията на модула, за решаване на модулни уравнения, от съществено значение е да знаете как да решите полиномиални уравнения.
Пример 1:
| x - 3 | = 5
За да се намери решението на това уравнение, е важно да се помни, че има два възможни резултата, които правят |не| = 5, това са те, не = -5, тъй като | -5 | = 5, а също не = 5, защото | 5 | = 5. Така че, използвайки същата идея, ние трябва:
I → x - 3 = 5 или
II → x - 3 = -5
Решаване на едно от уравненията поотделно:
Резолюция I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Резолюция II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Така че има две решения: S = {-2, 8}.
Имайте предвид, че ако x = 8, уравнението е вярно, защото:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Също така имайте предвид, че ако x = -2, уравнението също е вярно:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Пример 2:
| 2x + 3 | = 5
Както в пример 1, за да се намери решението, е необходимо да се раздели на два случая според дефиницията на модула.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Резолюция I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Резолюция II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Тогава комплект от решенията е: S = {1, -4}.
Пример 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Когато имаме равенството на два модула, трябва да го разделим на два случая:
1-ви случай, първи и втори член на същия знак.
2-ри случай, първи и втори член от противоположни знаци.
Резолюция I:
Ще направим двете страни по-големи от нула, т.е. просто ще премахнем модула. Можем и с двата негатива, но резултатът ще бъде един и същ.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Резолюция II:
Страни на противоположни знаци. Ще изберем едната страна да бъде положителна, а другата страна да бъде отрицателна.
Избор:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
И така, трябва да:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
И така, наборът от решения е: S = {4, -2/3}.
Също така достъп: Какво представляват ирационалните уравнения?
решени упражнения
Въпрос 1 - (UFJF) Броят на отрицателните решения на модулното уравнение | 5x - 6 | = x² е:
А) 0
Б) 1
В) 2
Г) 3
Д) 4
Резолюция
Алтернатива E
Искаме да решим модулното уравнение:
| 5x - 6 | = x²
И така, нека го разделим на два случая:
Резолюция I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
И така, трябва да:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Не забравяйте, че делта стойността ни казва колко решения има квадратното уравнение:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Тъй като 1 е положително, тогава в този случай има две реални решения.
Резолюция II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Тъй като Δ е положително и в този случай, тогава има две реални решения, така че общият брой на реалните решения е 4.
Въпрос 2 - (PUC SP) Наборът от решения S на уравнението | 2x - 1 | = x - 1 е:
A) S = {0, 2/3}
Б) S = {0, 1/3}
В) S = Ø
Г) S = {0, -1}
Д) S = {0, 4/3}
Резолюция
Алтернатива А
Резолюция I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
И така, трябва да:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Резолюция II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm