Сред начините за намиране на числовата стойност на x, процес, известен също като намерете корените на уравнение или намери решението на уравнение, Да изпъкнеш: Формула на Bhaskara това е процес на попълване на квадрати. Последното е фокусът на днешния текст.
Броят на решенията на уравнение се определя от степента му. Следователно уравненията от първа степен имат само едно решение, уравненията от трета степен имат три решения и квадратните уравнения имат две решения, наричани още корени..
Уравненията от втора степен, в намалената им форма, могат да бъдат написани, както следва:
брадва2 + bx + c = 0
метод за завършване на квадрат
В този случай квадратното уравнение е перфектен квадратен трином
Уравненията от втора степен, произтичащи от забележителен продукт, са известни като перфектен квадратен трином. За да намерим корените му, ще използваме метода, илюстриран по-долу:
Пример: Изчислете корените на уравнението x2 + 6x + 9 = 0.
Обърнете внимание, че коефициентът b е 6 = 2 · 3. За да го напишете под формата на забележителен продукт, просто проверете дали c = 3
2, което е вярно, тъй като 32 = 9 = c. По този начин можем да напишем:х2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Обърнете внимание, че забележим продукт е произведението между два равни полинома. В случая на това уравнение ще имаме:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Продуктът е равен на нула само когато един от факторите му е равен на нула. Следователно за (x + 3) (x + 3) = 0 е необходимо, че (x + 3) = 0 или (x + 3) = 0. Оттук и двата равни резултата за уравнението x2 + 6x + 9 = 0, които са: x = - 3 или x = - 3.
Накратко: за решаване на уравнението x2 + 6x + 9 = 0, напишете:
х2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 или x = - 3
В този случай квадратното уравнение не е перфектен квадратен трином
Уравнение на второто, при което коефициент b и коефициент c не отговарят на установените по-горе съотношения, не е идеален триъгъл на квадрат. В този случай подчертаният по-горе метод за решаване може да се използва с добавяне на няколко стъпки. Обърнете внимание на следния пример:
Пример: Изчислете корените на уравнението x2 + 6x - 7 = 0.
Обърнете внимание, че това уравнение не е перфектен квадратен трином. За да бъде, можем да използваме следните операции:
Обърнете внимание, че b = 2 · 3, така че в първия член изразът, който трябва да се появи, е x2 + 6x + 9, защото в този израз b = 2 · 3 и c = 32.
За тази "трансформация" добавете 32 върху двата члена на това уравнение, "предайте" - 7 на втория член, извършете възможните операции и наблюдавайте резултатите:
х2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
х2 + 6x + 32 = 32 + 7
х2 + 6x + 9 = 9 + 7
х2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 или x + 3 = - 4
Тази последна стъпка трябва да бъде разделена на две уравнения, тъй като коренът от 16 може да бъде 4 или - 4 (това се случва само в уравнения. Ако бъдете попитани какъв е коренът на 16, отговорът е само 4). Така че е необходимо да се намерят всички възможни резултати. Продължава:
x + 3 = 4 или x + 3 = - 4
x = 4 - 3 или x = - 4 - 3
x = 1 или x = - 7
В този случай коефициентът "а" не е равен на 1
Предишните случаи са предназначени за уравнения от втора степен, където коефициентът "а" е равен на 1. Ако коефициентът "а" е различен от 1, просто разделете цялото уравнение на стойността на "а" и продължете с изчисленията по същия начин, както в предишния случай.
Пример: Изчислете 2x корени2 + 16x - 18 = 0
Имайте предвид, че a = 2. Така че разделете цялото уравнение на 2 и опростете резултатите:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
х2 + 8x - 9 = 0
След като това е направено, повторете процедурите от предишния случай.
х2 + 8x - 9 = 0
х2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
х2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 или x + 4 = –5
x = 5 - 4 или x = - 5 - 4
x = 1 или x = - 9
Известни продукти и уравнения от втора степен: Произход на метода за завършване на квадратите
Квадратните уравнения наподобяват забележителните произведения сума квадрат и квадрат на разликата.
Например сумата на квадрат е сума от два монома на квадрат. Гледам:
(x + k)2 = х2 + 2kx + k2
Първият член на горното равенство е известен като забележителен продукт а втората как перфектен квадратен трином. Последното много прилича на уравнение от втора степен. Гледам:
Перфектен квадратен трином: х2 + 2kx + k2
Уравнение от втора степен: брадва2 + bx + c = 0
По този начин, ако има някакъв начин да се напише квадратно уравнение като забележителен продукт, може би има и начин да намерите резултатите си, без да е необходимо да използвате формулата на Баскара.
За целта обърнете внимание, че в забележителния продукт по-горе a = 1, b = 2 · k и c = k2. По този начин е възможно да се напишат уравнения, които отговарят на тези изисквания, под формата на забележителен продукт.
Така че вижте коефициентите в уравнението. Ако „а“ е различно от 1, разделете цялото уравнение на стойността на „а“. В противен случай спазвайте коефициента "b". Числовата стойност на половината от този коефициент трябва да се равнява на числената стойност на квадратния корен на коефициента „c“. Математически, като се има предвид уравнението ax2 + bx + c = 0, ако a = 1 и в допълнение:
Б. = c
2
И така, можете да напишете това уравнение по следния начин:
брадва2 + bx + c = (x + Б.) = 0
2
И корените му ще бъдат - Б и + b.
2 2
Оттук и цялата теория, използвана за изчисляване на корени на квадратни уравнения чрез метода за попълване на квадрати.
От Луис Пауло Морейра
Завършва математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
