Решени упражнения за линейни системи

Практикувайте знанията си за линейни системи, важна математическа тема, която включва изучаване на едновременни уравнения. С много практически приложения те се използват за решаване на проблеми, включващи различни променливи.

Всички въпроси се решават стъпка по стъпка, където ще използваме различни методи, като например: заместване, добавяне, елиминиране, мащабиране и правилото на Крамер.

Въпрос 1 (метод на заместване)

Определете подредената двойка, която решава следната система от линейни уравнения.

Вижте Отговор

отговор:

Изолиране на x в първото уравнение:

Заместване на x във второто уравнение:

Заместване на стойността на y в първото уравнение.

И така, подредената двойка, която решава системата, е:

Въпрос 2 (метод на мащабиране)

Решението на следната система от линейни уравнения е:

Вижте Отговор

Отговор: x = 5, y = 1, z = 2

Системата вече е в ешелонна форма. Третото уравнение има два нулеви коефициента (y = 0 и x = 0), второто уравнение има нулев коефициент (x = 0), а третото уравнение няма нулеви коефициенти.

При ешелонната система решаваме "отдолу нагоре", тоест започваме с третото уравнение.

Преминавайки към горното уравнение, заместваме z = 2.

Накрая, заместваме z = 2 и y = 1 в първото уравнение, за да получим x.

Решение

x = 5, y = 1, z = 2

Въпрос 3 (Правило или метод на Крамър)

Решете следната система от линейни уравнения:

Вижте Отговор

Отговор: x = 4, y = 0.

Използване на правилото на Крамър.

Етап 1: определя детерминантите D, Dx и Dy.

Матрицата на коефициентите е:

Неговата детерминанта:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

За изчисляване на Dx заместваме колоната от членове на x с колоната от независими членове.

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

За изчисляването на Dy заместваме членовете на y с независимите членове.

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

стъпка 2: определете x и y.

За да определим x, правим:

За да определим y, правим:

въпрос 4

Продавач на тениски и шапки на спортно събитие продаде 3 тениски и 2 шапки, като събра общо 220,00 R$. На следващия ден той продаде 2 фланелки и 3 шапки, събирайки R$190,00. Каква би била цената на тениска и на шапка?

а) Тениска: 60,00 BRL | Капачка: 40,00 BRL

б) Тениска: 40,00 BRL | Капачка: 60,00 BRL

в) Тениска: 56,00 BRL | Капачка: 26,00 BRL

г) Тениска: 50,00 BRL | Капачка: 70,00 BRL

д) Тениска: 80,00 BRL | Капачка: 30,00 BRL

потвърди отговора

Отговорът е обяснен

Нека обозначим цената на тениските c и цената на шапките b.

За първия ден имаме:

3c + 2b = 220

За втори ден имаме:

2c + 3b = 190

Формираме две уравнения с по две неизвестни c и b. Така че имаме система от 2x2 линейни уравнения.

Резолюция

Използване на правилото на Крамър:

1-ва стъпка: детерминанта на матрицата на коефициентите.

2-ра стъпка: детерминанта Dc.

Заменяме колоната на c с матрицата от независими членове.

3-та стъпка: детерминанта Db.

4-та стъпка: определете стойността на c и b.

отговор:

Цената на тениската е 56,00 реала, а на шапката 26,00 реала.

въпрос 5

Кино таксува R$10,00 на билет за възрастни и R$6,00 на билет за деца. За един ден бяха продадени 80 билета и общата колекция беше 700,00 R$. Колко билета от всеки вид са продадени?

а) Възрастни: 75 | Деца: 25

б) Възрастни: 40 | Деца: 40

в) Възрастни: 65 | Деца: 25

г) Възрастни: 30 | Деца: 50

д) Възрастни: 25 | Деца: 75

потвърди отговора

Отговорът е обяснен

Ще го кръстим като The цената на билета за възрастни и w за деца.

Спрямо общия брой билети имаме:

a + c = 80

По отношение на получената стойност имаме:

10a + 6c = 700

Формираме система от линейни уравнения с две уравнения и две неизвестни, тоест система 2x2.

Резолюция

Ще използваме метода на заместване.

Изолиране на a в първото уравнение:

a = 80 - c

Заместване на a във второто уравнение:

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Заместване на c във второто уравнение:

6a + 10c = 700

6а+10. 25 = 700

6y + 250 = 700

6а = 700 - 250

6а = 450

а = 450/6

а = 75

въпрос 6

Магазин за тениски, шорти и обувки. През първия ден бяха продадени 2 тениски, 3 шорти и 4 чифта обувки на обща стойност 350,00 R$. На втория ден бяха продадени 3 тениски, 2 шорти и 1 чифт обувки на обща стойност 200,00 R$. На третия ден бяха продадени 1 тениска, 4 шорти и 2 чифта обувки на обща стойност 320,00 R$. Колко биха стрували тениска, шорти и чифт обувки?

а) Тениска: 56,00 BRL | Бермуди: 24,00 R$ | Обувки: BRL 74,00

б) Тениска: 40,00 BRL | Бермуди: 50,00 R$ | Обувки: BRL 70,00

в) Тениска: 16,00 BRL | Бермуди: 58,00 R$ | Обувки: 36,00 BRL

г) тениска: 80,00 BRL | Бермуди: 50,00 R$ | Обувки: BRL 40,00

д) тениска: 12,00 BRL | Бермуди: 26,00 R$ | Обувки: 56,00 BRL

потвърди отговора

Отговорът е обяснен

• c е цената на ризите;
• b е цената на шортите;
• s е цената на обувките.

За първия ден:

2c + 3b + 4s = 350

За втория ден:

3c + 2b + s = 200

За третия ден:

c + 4b + 2s = 320

Имаме три уравнения и три неизвестни, образуващи 3x3 система от линейни уравнения.

Използване на правилото на Крамър.

Матрицата на коефициентите е

Неговата детерминанта е D = 25.

Матрицата на колоните на отговорите е:

За да изчислим Dc, заменяме матрицата на колоната на отговорите с първата колона в матрицата на коефициентите.

dc = 400

За изчисляване на Db:

Db = 1450

За изчисляване на Ds:

Ds = 900

За да определим c, b и s, разделяме детерминантите Dc, Db и Ds на главната детерминанта D.

въпрос 7

Ресторантът предлага три варианта на ястия: месо, салата и пица. През първия ден бяха продадени 40 месни ястия, 30 салатни ястия и 10 пици, на обща стойност 700,00 R$ от продажбите. На втория ден бяха продадени 20 месни ястия, 40 салатни ястия и 30 пици, на обща стойност 600,00 R$ от продажбите. На третия ден бяха продадени 10 месни ястия, 20 салатни ястия и 40 пици, на обща стойност 500,00 R$ от продажбите. Колко би струвало всяко ястие?

а) месо: 200,00 BRL | салата: R$ 15,00 | пица: BRL 10,00

б) месо: 150,00 R$ | салата: 10,00 R$ | пица: BRL 60.00

в) месо: BRL 100,00 | салата: R$ 15,00 | пица: BRL 70.00

г) месо: 200,00 BRL | салата: R$ 10,00 | пица: BRL 15.00

д) месо: 140,00 BRL | салата: R$ 20,00 | пица: BRL 80.00

потвърди отговора

Отговорът е обяснен

Използвайки:

• c за месо;
• s за салата;
• p за пица.

На първия ден:

През втория ден:

На третия ден:

Цената на всяко ястие може да се получи чрез решаване на системата:

Резолюция

Използване на метода на елиминиране.

Умножете 20c + 40s + 30p = 6000 по 2.

Извадете полученото второ матрично уравнение от първото.

В горната матрица заместваме това уравнение с второто.

Умножаваме третото уравнение по-горе по 4.

Като извадим третото от първото уравнение, получаваме:

Заместване на полученото уравнение с третото.

Изваждайки уравнения две и три, имаме:

От третото уравнение получаваме p = 80.

Заместване на p във второто уравнение:

50s + 50,80 = 5000

50s + 4000 = 5000

50-те = 1000

s = 1000/50 = 20

Заместване на стойностите на s и p в първото уравнение:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Решение

p=80, s=20 и c=140

въпрос 8

(UEMG) В плана, системата представлява двойка линии

а) съвпадащи.

б) различни и успоредни.

в) едновременни линии в точката ( 1, -4/3 )

г) едновременни линии в точката (5/3, -16/9)

потвърди отговора

Отговорът е обяснен

Умножаване на първото уравнение по две и добавяне на двете уравнения:

Заместване на x в уравнение A:

въпрос 9

(PUC-MINAS) Определена лаборатория изпрати 108 поръчки до аптеки A, B и C. Известно е, че броят на поръчките, изпратени до аптека B, е два пъти повече от общия брой поръчки, изпратени до другите две аптеки. В допълнение, три поръчки, повече от половината от количеството, изпратено до аптека A, са изпратени до аптека C.

Въз основа на тази информация е ПРАВИЛНО да се твърди, че общият брой поръчки, изпратени до аптеки B и C, е

а) 36

б) 54

в) 86

г) 94

потвърди отговора

Отговорът е обяснен

Според изявлението имаме:

A + B + C = 108.

Също така, че количеството B е два пъти по-голямо от A + C.

B = 2 (A + C)

Към аптека С са изпратени три поръчки, повече от половината от количеството е изпратено до аптека А.

C = A/2 + 3

Имаме уравнения и три неизвестни.

Използване на метода на заместване.

Стъпка 1: заменете третия с втория.

Стъпка 2: Заместете получения резултат и третото уравнение в първото.

Стъпка 3: Заменете стойността на A, за да определите стойностите на B и C.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

За C:

Стъпка 4: добавете стойностите на B и C.

72 + 14 = 86

въпрос 10

(UFRGS 2019) Така че системата от линейни уравнения възможно и определено, е необходимо и достатъчно, че

а) a ∈ R.

б) а = 2.

в) а = 1.

г) а ≠ 1.

в) а ≠ 2.

потвърди отговора

Отговорът е обяснен

Един от начините за класифициране на система като възможна и определена е чрез метода на Крамър.

Условието за това е детерминантите да са различни от нула.

Приравняване на детерминантата D на основната матрица към нула:

За да научите повече за линейните системи:

• Линейни системи: какво представляват, видове и как се решават
• Системи от уравнения
• Мащабиране на линейни системи
• Правилото на Крамър

За повече упражнения:

• Системи уравнения от 1-ва степен

Как да цитирам?

ASTH, Рафаел. Упражнения върху решени линейни системи.Цялата материя, [n.d.]. Достъпен в: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Достъп на:

Вижте също

• Линейни системи
• Мащабиране на линейни системи
• Системи от уравнения
• 11 упражнения за умножение на матрици
• Уравнение от втора степен
• Упражнения за неравенство
• 27 основни упражнения по математика
• Правилото на Крамър