А допирателна (съкратено като tg или tan) е a тригонометрична функция. За да определим тангенса на ъгъл, можем да използваме различни стратегии: да изчислим отношението между синуса и косинуса на ъгъла, ако са известни; използвайте тангенс таблица или калкулатор; изчислете отношението между срещуположния катет и съседния, ако въпросният ъгъл е вътрешен (остър) на правоъгълен триъгълник, наред с други.
Прочетете също: За какво се използва тригонометричният кръг?
резюме по допирателната
Тангенсът е тригонометрична функция.
Тангенса на вътрешен ъгъл към правоъгълен триъгълник е съотношението на срещуположната страна към съседната страна.
Тангенсът на всеки ъгъл е отношението на синуса и косинуса на този ъгъл.
Функцията \(f (x)=tg\ x\) се определя за ъгли х изразено в радиани, така че cos \(cos\ x≠0\).
Графиката на функцията тангенс показва вертикални асимптоти за стойностите, където \(x= \frac{π}2+kπ\), с к цяло, като \(x=-\frac{π}2\).
Законът за тангентите е израз, който свързва във всеки триъгълник тангентите на два ъгъла и страните, противоположни на тези ъгли.
Тангенс на ъгъл
Ако α е едно ъгъл вътрешно на a правоъгълен триъгълник, тангенсът на α е съотношението между дължината на срещуположния катет и дължината на съседния катет:
За всеки ъгъл α тангенсът е съотношението между sin α и косинуса на α, където \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Трябва да се отбележи, че ако α е ъгъл в 1-ви или 3-ти квадрант, допирателната ще има положителен знак; но ако α е ъгъл на 2-ри или 4-ти квадрант, тангенсът ще има отрицателен знак. Тази връзка произтича директно от правилото за знаци между знаците синус и косинус за всяко α.
Важно: Имайте предвид, че допирателната не съществува за стойности на α, където \(cos\ α=0\). Това се случва за ъгли от 90°, 270°, 450°, 630° и т.н. За да представим тези ъгли по общ начин, използваме нотация в радиан: \(\frac{ π}2+kπ\), с к цяло.
Тангенс на забележими ъгли
Използване на израза \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), можем да намерим допирателните на забележителни ъгли, които са ъглите от 30°, 45° и 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
интересно: В допълнение към тях можем да анализираме стойностите на тангенса за ъглите от 0° и 90°, които също са широко използвани. Тъй като sin 0° = 0, заключаваме, че tan 0° = 0. За ъгъл 90°, тъй като cos90° = 0, допирателната не съществува.
Как да изчислим тангентата?
За да изчислим тангенса, използваме формулата tg α=sin αcos α, използвана за изчисляване на тангенса на всеки ъгъл. Нека разгледаме някои примери по-долу.
Пример 1
Намерете тангенса на ъгъл α в десния триъгълник по-долу.
Резолюция:
Що се отнася до ъгъл α, страната на мярка 6 е противоположната страна, а страната на мярка 8 е съседната страна. Като този:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Пример 2
Знаейки това \(sin\ 35°≈0,573\) и cos\(35°≈0,819\), намерете приблизителната стойност за тангентата от 35°.
Резолюция:
Тъй като тангенса на ъгъл е съотношението между синуса и косинуса на този ъгъл, имаме:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
тангенс функция
Функцията fx=tg x е дефинирана за ъгли х изразено в радиани, така че \(cos\ x≠0\). Това означава, че областта на допирателната функция се изразява чрез:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Освен това всички реални числа са образ на функцията тангенс.
→ Графика на функцията тангенс
Имайте предвид, че графиката на допирателната функция има вертикални асимптоти за стойностите където \(x= \frac{π}2+kπ\), с к цяло, като \( x=-\frac{π}2\). За тези стойности на х, допирателната не е дефинирана (т.е. допирателната не съществува).
Вижте също: Какво е домейн, диапазон и изображение?
закон на допирателната
Законът на допирателната е а израз, който асоциира, в а триъгълник всеки, допирателните на два ъгъла и страните срещу тези ъгли. Например, разгледайте ъглите α и β на триъгълника ABC по-долу. Обърнете внимание, че страната CB = a е срещу ъгъл α и че страната AC = b е срещу ъгъл β.
Законът на допирателната гласи, че:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
тригонометрични съотношения
Към тригонометрични съотношения са тригонометричните функции, обработени върху правоъгълния триъгълник. Ние тълкуваме тези съотношения като връзки между страните и ъглите на този тип триъгълник.
Решени упражнения по допирателна
Въпрос 1
Нека θ е ъгъл на втория квадрант, така че sin\(sin\ θ≈0,978\), така че tgθ е приблизително:
А) -4 688
Б) 4688
В) 0,2086
Г) -0,2086
Д) 1
Резолюция
Алтернатива А
ако \(sin\ θ≈0,978\), след това, използвайки фундаменталната идентичност на тригонометрията:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Тъй като θ е ъгъл на втория квадрант, тогава cosθ е отрицателен, следователно:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Скоро:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
въпрос 2
Да разгледаме правоъгълен триъгълник ABC с катети AB = 3 cm и AC = 4 cm. Тангенсът на ъгъл B е:
а) \(\frac{3}4\)
б) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
Д) \(\frac{4}5\)
И) \(\frac{5}3\)
Резолюция:
Алтернатива C
Според изявлението кракът срещу ъгъла \(\hat{B}\) е АС с размери 4 см и катет, прилежащ към ъгъла \(\hat{B}\) е AB с мярка 3 cm. Като този:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
От Мария Луиза Алвес Рицо
Учител по математика
