А допирателна (съкратено като tg или tan) е a тригонометрична функция. За да определим тангенса на ъгъл, можем да използваме различни стратегии: да изчислим отношението между синуса и косинуса на ъгъла, ако са известни; използвайте тангенс таблица или калкулатор; изчислете отношението между срещуположния катет и съседния, ако въпросният ъгъл е вътрешен (остър) на правоъгълен триъгълник, наред с други.
Прочетете също: За какво се използва тригонометричният кръг?
Теми на тази статия
- 1 - Обобщение за тангентата
- 2 - Тангенс на ъгъл
- 3 - Тангенс на забележими ъгли
-
4 - Как да изчислим тангенса?
- → Графика на функцията тангенс
- 5 - Закон на допирателната
- 6 - Тригонометрични съотношения
- 7 - Решени упражнения по допирателна
резюме по допирателната
Тангенсът е тригонометрична функция.
Тангенса на вътрешен ъгъл към правоъгълен триъгълник е съотношението на срещуположната страна към съседната страна.
Тангенсът на всеки ъгъл е отношението на синуса и косинуса на този ъгъл.
Функцията \(f (x)=tg\ x\) се определя за ъгли х изразено в радиани, така че cos \(cos\ x≠0\).
Графиката на функцията тангенс показва вертикални асимптоти за стойностите, където \(x= \frac{π}2+kπ\), с к цяло, като \(x=-\frac{π}2\).
Законът за тангентите е израз, който свързва във всеки триъгълник тангентите на два ъгъла и страните, противоположни на тези ъгли.
Тангенс на ъгъл
Ако α е едно ъгъл вътрешно на a правоъгълен триъгълник, тангенсът на α е съотношението между дължината на срещуположния катет и дължината на съседния катет:
За всеки ъгъл α тангенсът е съотношението между sin α и косинуса на α, където \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Трябва да се отбележи, че ако α е ъгъл в 1-ви или 3-ти квадрант, допирателната ще има положителен знак; но ако α е ъгъл на 2-ри или 4-ти квадрант, тангенсът ще има отрицателен знак. Тази връзка произтича директно от правилото за знаци между знаците синус и косинус за всяко α.
Важно: Имайте предвид, че допирателната не съществува за стойности на α, където \(cos\ α=0\). Това се случва за ъгли от 90°, 270°, 450°, 630° и т.н. За да представим тези ъгли по общ начин, използваме нотация в радиан: \(\frac{ π}2+kπ\), с к цяло.
Не спирай сега... Има още след рекламата ;)
Тангенс на забележими ъгли
Използване на израза \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), можем да намерим допирателните на забележителни ъгли, които са ъглите от 30°, 45° и 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
интересно: В допълнение към тях можем да анализираме стойностите на тангенса за ъглите от 0° и 90°, които също са широко използвани. Тъй като sin 0° = 0, заключаваме, че tan 0° = 0. За ъгъл 90°, тъй като cos90° = 0, допирателната не съществува.
Как да изчислим тангентата?
За да изчислим тангенса, използваме формулата tg α=sin αcos α, използвана за изчисляване на тангенса на всеки ъгъл. Нека разгледаме някои примери по-долу.
Пример 1
Намерете тангенса на ъгъл α в десния триъгълник по-долу.
Резолюция:
Що се отнася до ъгъл α, страната на мярка 6 е противоположната страна, а страната на мярка 8 е съседната страна. Като този:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Пример 2
Знаейки това \(sin\ 35°≈0,573\) и cos\(35°≈0,819\), намерете приблизителната стойност за тангентата от 35°.
Резолюция:
Тъй като тангенса на ъгъл е съотношението между синуса и косинуса на този ъгъл, имаме:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
тангенс функция
Функцията fx=tg x е дефинирана за ъгли х изразено в радиани, така че \(cos\ x≠0\). Това означава, че областта на допирателната функция се изразява чрез:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Освен това всички реални числа са образ на функцията тангенс.
→ Графика на функцията тангенс
Имайте предвид, че графиката на допирателната функция има вертикални асимптоти за стойностите където \(x= \frac{π}2+kπ\), с к цяло, като \( x=-\frac{π}2\). За тези стойности на х, допирателната не е дефинирана (т.е. допирателната не съществува).
Вижте също: Какво е домейн, диапазон и изображение?
закон на допирателната
Законът на допирателната е а израз, който асоциира, в а триъгълник всеки, допирателните на два ъгъла и страните срещу тези ъгли. Например, разгледайте ъглите α и β на триъгълника ABC по-долу. Обърнете внимание, че страната CB = a е срещу ъгъл α и че страната AC = b е срещу ъгъл β.
Законът на допирателната гласи, че:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )
тригонометрични съотношения
Към тригонометрични съотношения са тригонометричните функции, обработени върху правоъгълния триъгълник. Ние тълкуваме тези съотношения като връзки между страните и ъглите на този тип триъгълник.
Решени упражнения по допирателна
Въпрос 1
Нека θ е ъгъл на втория квадрант, така че sin\(sin\ θ≈0,978\), така че tgθ е приблизително:
А) -4 688
Б) 4688
В) 0,2086
Г) -0,2086
Д) 1
Резолюция
Алтернатива А
ако \(sin\ θ≈0,978\), след това, използвайки фундаменталната идентичност на тригонометрията:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Тъй като θ е ъгъл на втория квадрант, тогава cosθ е отрицателен, следователно:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Скоро:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
въпрос 2
Да разгледаме правоъгълен триъгълник ABC с катети AB = 3 cm и AC = 4 cm. Тангенсът на ъгъл B е:
а) \(\frac{3}4\)
б) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
Д) \(\frac{4}5\)
И) \(\frac{5}3\)
Резолюция:
Алтернатива C
Според изявлението кракът срещу ъгъла \(\hat{B}\) е АС с размери 4 см и катет, прилежащ към ъгъла \(\hat{B}\) е AB с мярка 3 cm. Като този:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
От Мария Луиза Алвес Рицо
Учител по математика
Научете как да построите тригонометричната окръжност, в допълнение към разбирането как работи редуцирането до първия квадрант и как да изучавате тригонометрията чрез него.
Познаване на тригонометричните функции синус, косинус и тангенс. Разберете графиката на всяка от тригонометричните функции. Вижте характеристиките на тези функции.
радиан, ъгъл, градус, обиколка, дъга, дъга от обиколка, трансформация от градус към радиан, определение радиан, мярка на ъгъл, мярка на дъгата, дължина на обиколката в радиани, дължина на обиколка.
Вижте как да изчислите стойността на синус, косинус и тангенс на ъгъл и научете кое от съотношенията да използвате в проблемна ситуация.
Научете какво изучава тригонометрията. Да знаете кои са основните тригонометрични идентичности и функции и да знаете как да прилагате тригонометрията.
Знайте какви са особеностите на правоъгълния триъгълник и се научете да изчислявате неговата площ и периметър. Вижте също как тригонометрията може да се приложи към него.
Щракнете и научете кои са забележителните ъгли за тригонометрията и разберете как да намерите техните стойности на синус, косинус и тангенс.
