О апотема на многоъгълник е сегмент с крайни точки в центъра на многоъгълника и в средата на една от страните. Този сегмент образува ъгъл от 90° със съответната страна на многоъгълника.
За да се изчисли мярката на апотемата, е необходимо да се вземат предвид характеристиките на въпросния многоъгълник. В зависимост от геометричната форма е възможно да се конструира формула за получаване на това измерване. Важно наблюдение е, че мярката на апотемата на правилен многоъгълник е равна на мярката на радиуса на обиколката, вписана в многоъгълника.
Прочетете също: Какво е ъглополовящата?
Резюме за апотемата
Апотемата е сегментът от многоъгълник, който свързва центъра (точката на пресичане на ъглополовящи) със средата на една от страните.
Ъгълът между апотемата и съответната страна на многоъгълника е 90°.
Мярката на апотемата на правилен многоъгълник е равна на мярката на радиуса на окръжността, вписана в многоъгълника.
Апотема OM на равностранен триъгълник със страна л се дава по формулата
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Апотемата OM на квадрат със страна л се дава по формулата
\(OM = \frac{l}2\)
Апотема OM на правилен шестоъгълник от едната страна л се дава по формулата
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Апотема на пирамида е сегментът, който свързва върха със средата на един от ръбовете на основата и неговата мярка може да бъде получена чрез Питагоровата теорема.
Примери за апотема
За да намерим апотемата на многоъгълник, трябва да конструираме отсечка, свързваща центъра на многоъгълника със средата на една от страните. Не забравяйте, че центърът на многоъгълник е мястото, където се срещат ъглополовящите.
В тези примери апотемата се разглежда в равнинни многоъгълници. Има обаче космически обект, който има различен вид апотема: пирамидата.
В пирамидата има два вида апотема: апотема на основата, която е апотема на многоъгълника, който образува основата на пирамидата, и апотема на пирамидата, която е сегмент, свързващ върха със средната точка на основен ръб (тоест, това е височината на страничната повърхност на основата). пирамида).
В примера с квадратна основа по-долу сегмент OM е апотема на основата, а сегмент VM е апотема на пирамидата, като M е средата на BC.
Какви са формулите за апотемата?
Познавайки характеристиките на многоъгълник, особено на правилните многоъгълници, можем да разработим формули за изчисляване на мярката на апотемата. Нека да видим какви са тези формули за основните правилни многоъгълници.
Формула за апотема на равностранен триъгълник
В случай на равностранен триъгълник, височината и медианата спрямо дадена страна са еднакви. Това означава, че центърът на многоъгълника съвпада с барицентър на триъгълника. Така точката O разделя височината AM, както следва:
\(AO = \frac{2}3 AM\) то е \(OM=\frac{1}3 сутринта\)
Не забравяйте, че мярката на височина на равностранен триъгълник л се дава от:
\(Височина\ триъгълник\ равностранен=\frac{l\sqrt3}2\)
Следователно, тъй като AM е височината на равностранния триъгълник ABC и отсечката OM е апотема на триъгълника, можем да разработим следния израз за мярката на OM, като се има предвид, че страната на триъгълника е с размери л:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Апотема на квадратната формула
В случая с квадрата, мярката на апотемата съответства на половината от дължината на страната. Така, ако O е центърът на квадрата, M е средата на една от страните и л е дължината на страната на квадрата, така че формулата за апотемата OM е
\(OM=\frac{l}2\)
Формула за апотема с правилен шестоъгълник
В правилния шестоъгълник апотемата съответства на височината на равностранен триъгълник с върхове в двата края на една от страните и в центъра на многоъгълника. В примера по-долу апотемата OM на правилния шестоъгълник е височината на равностранния триъгълник OCD, където M е средата на CD.
Както споменахме преди, надморската височина на равностранен триъгълник е известна. Така, ако страната на правилен шестоъгълник измерва л, тогава формулата за апотемата OM е
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Формула на апотемата на пирамидата
Мярката на апотемата на пирамидата може да се получи с Помощ за Питагоровата теорема. В примера по-долу в квадратна пирамида триъгълникът VOM е правоъгълник с катети VO и OM и хипотенуза VM. Обърнете внимание, че VO е височината на пирамидата, OM е апотема на основата и VM е апотема на пирамидата.
По този начин, за да определим мярката на апотемата на пирамидата, трябва да приложим Питагоровата теорема:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Внимателен! VM е височината на равнобедрен триъгълник, а не на равностранен триъгълник. Така че в този случай не можем да използваме формулата за височината на равностранен триъгълник.
Как се изчислява апотемата?
За да изчислим апотемата на многоъгълник или пирамида, можем да използваме построените формули или да свържем апотемата с радиуса на вписаната окръжност.
Пример 1: Да приемем, че окръжност с радиус 3 cm е вписана в равностранен триъгълник. Каква е мярката на апотемата на този триъгълник?
Тъй като апотемата на многоъгълник има същата мярка като радиуса на вписаната окръжност, апотемата на триъгълника е с размери 3 cm.
Пример 2: Каква е мярката на апотемата на правилен шестоъгълник със страна 4 cm?
Използвайки формулата за апотема на правилен шестоъгълник с \(l=4\) см, трябва
\(Измерване\ на\ апотема=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Прочетете също: Всичко за забележителните точки на триъгълник
Решени упражнения върху апотемата
Въпрос 1
Ако пирамида с височина 4 cm има апотема в основата 3 cm, тогава измерването на апотемата на пирамидата е
а) 5 см
б) 6 см
в) 7 см
г) 8 см
д) 9 см
Резолюция:
В пирамида можем да построим правоъгълен триъгълник, в който единият катет е апотема на основата, другият катет е височината на пирамидата, а хипотенузата е апотема на пирамидата. По този начин, прилагайки Питагоровата теорема към хипотенузата на мярката x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Алтернатива А.
въпрос 2
Ако апотема на квадрат е y cm, тогава страната на квадрата е
The) \(\frac{1}3y \) см
б) \(\frac{1}2y \) см
в) y cm
г) 2y cm
д) 3y cm
Резолюция
Апотемата на квадрат е половината от дължината на страната на квадрата. Следователно, ако апотемата е с размери y cm, квадратът е с размери 2y cm.
Алтернатива Г.
От Мария Луиза Алвес Рицо
Учител по математика