ъглополовяща и на перпендикулярна линия към сегмент, който пресича неговата среда. Можем да построим перпендикулярна ъглополовяща на сегмент с помощта на линийка и компас. На триъгълник, ъглополовящите са прави, перпендикулярни на страните, които съдържат техните среди. Така един триъгълник има три перпендикулярни ъглополовящи. Точката, в която се срещат тези ъглополовящи, се нарича център на описаната около него и съставлява центъра на окръжността, описана около триъгълника.
Прочетете също: Разстояние между две точки — най-късият път между две точки в декартовата равнина
Теми на тази статия
- 1 - Обобщение за ъглополовяща
- 2 - Какво е ъглополовяща?
- 3 - Как да построим перпендикулярна ъглополовяща?
- 4 - Как да намеря уравнението на ъглополовящата?
- 5 - Симетрала на триъгълник
- 6 - Разлики между ъглополовяща, медиана, ъглополовяща и височина на триъгълник
- 7 - Решени упражнения върху симетрала
Симетрала е прав перпендикулярна на отсечка, минаваща през средата.
Точките на перпендикулярна ъглополовяща са на еднакво разстояние от крайните точки на отсечката.
Перпендикулярната ъглополовяща може да се построи с линийка и пергел.
Уравнението на перпендикулярна ъглополовяща може да се определи въз основа на координатите на крайните точки на сегмента.
Триъгълникът има три перпендикулярни ъглополовящи, по една спрямо всяка страна.
Пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник се нарича център на описаната около него. Тази точка е центърът на описаната окръжност на триъгълника.
Симетралата на триъгълник се различава от медианата, симетралата и височината на триъгълника.
Не спирай сега... Има още след рекламата ;)
Като се има предвид сегмент, перпендикулярната ъглополовяща е линията, перпендикулярна на сегмент който прихваща вашите средна точка.
Важно следствие от това определение е, че всички точки на перпендикулярна ъглополовяща са на едно и също разстояние от крайните точки на сегмента. В математическата символика, ако AB е сегмент и точката P принадлежи на ъглополовящата, тогава PA = PB.
За да построим перпендикулярна ъглополовяща на сегмент, имаме нужда само от линийка и компас. Стъпките за изграждане са както следва:
Етап 1: Дадена е отсечка AB, отворете компаса с дължина, по-голяма от половината от отсечката. Съвет: една възможност е да използвате дължината на самия сегмент.
Стъпка 2: нарисувай един обиколка с център в единия край на сегмента и радиус с мярката, избрана в стъпка 1.
Стъпка 3: Повторете стъпка 2 за другия край на сегмента.
Стъпка 4: Съединете пресечните точки на кръговете с линийката.
Тъй като перпендикулярната ъглополовяща е права линия, можем да определим a уравнение това описва вашите точки, като r линията, която съдържа сегмент AB раздаден, с ъглополовящата на този сегмент и П (x, y) всяка точка от ъглополовящата.
Ако приемем, че координатите на точките А то е б са известни, можем да получим ъгловия коефициент н на правите r. Като r то е с са перпендикулярни, наклонът м на правите с (перпендикулярната ъглополовяща) също може да бъде намерена, тъй като е противоположна на мултипликативната обратна на н. Използвайки израза за основното уравнение на линията, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), на какво \(M(x\_0,y\_0)\) е средната точка на AB, ние завършихме уравнението на ъглополовящата.
Пример:
Да се определи ъглополовящата уравнение на отсечката, определена от точките A(1,2) и B(3,6).
Резолюция:
Първо, нека вземем наклона н на правите r който съдържа сегмента AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Сега търсим средата M на отсечката AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Запомнете, че перпендикулярната ъглополовяща с желаната е перпендикулярна на правата r (който съдържа сегмента AB). След това ъгловият коефициент м на правите с и ъгловият коефициент н на правите r са свързани, както следва:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Следователно, \( m_s=\frac{-1}2\).
И накрая, ние използваме основното уравнение на правата, за да определим ъглополовящата s, права, която има наклон равен на \(-\frac{1}2\) и минава през точката (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
Трите страни на триъгълника са отсечки. По този начин терминът „ъглополовяща на триъгълник“ се отнася до ъглополовящата на една от страните на тази геометрична фигура. Следователно, триъгълникаима три ъглополовящи. Виж отдолу:
Точката, в която се срещат ъглополовящите на триъгълник, се нарича център на описаната около него., тъй като е центърът на окръжността, описана около триъгълника (т.е. окръжността, която минава през трите върха на триъгълника).
Важно:Тъй като центърът на описаната окръжност е точка, обща за трите ъглополовящи, разстоянието му от всеки от върховете е еднакво. В математическата символика, ако д е центърът на обиколката на триъгълника ABC, тогава \(AD=BD=CD\).
Симетрала, медиана, ъглополовяща и височина на триъгълник са различни понятия. Нека разгледаме всеки поотделно и след това заедно.
Симетрала на триъгълник: е правата, перпендикулярна на една от страните, която пресича нейната среда.
Медиана на триъгълник: е сегментът с крайни точки във връх на триъгълника и в средата на страната, противоположна на върха.
Симетрала на триъгълник: е сегментът, който разделя наполовина един от ъгли страни на триъгълника, с крайни точки в един от върховете и на противоположната страна.
Височина на триъгълник: е сегментът, перпендикулярен на една от страните с край в ъгъла, противоположен на страната.
В следващото изображение подчертаваме, по отношение на сегмента BC на триъгълника, височината (пунктирана тире в оранжево), ъглополовящата (пунктирана линия в лилаво), медианата (пунктирана линия в зелено) и перпендикулярната ъглополовяща (плътна линия в червен).
Важно: На равностранен триъгълник, тоест, който има трите страни и трите ъгъла равни, ъглополовящите, медианите, ъглополовящите и височините съвпадат. Следователно, забележителни точки на триъгълник (център на окръжност, барицентър, вписан център и ортоцентър) също съвпадат. На изображението по-долу подчертаваме, по отношение на сегмент BC, ъглополовящата, медианата, ъглополовящата и височината в непрекъсната черна линия. Следователно маркираната точка E е центърът на описаната окръжност, барицентърът, центърът на вписани точки и ортоцентърът на триъгълника ABC.
Вижте също: Метрични отношения във вписания равностранен триъгълник — кои са те?
Въпрос 1
Разгледайте твърденията по-долу.
аз Симетралата на триъгълник е сегментът, който започва от връх и пресича средата на противоположната страна.
II. Точката, в която се срещат ъглополовящите на триъгълник, се нарича център на описаната около него. Тази точка е центърът на окръжността, описана около триъгълника и на еднакво разстояние от върховете.
III. Симетралата на отсечка е перпендикулярната права, която пресича отсечката в средата.
Коя алтернатива съдържа правилния(ите)?
А) Само аз.
B) II, само.
C) III, само.
Г) I и II.
Д) II и III.
Резолюция:
Алтернатива Е
Твърдение I е единственото неправилно, тъй като описва медианата на триъгълник.
въпрос 2
(Enem — адаптиран) През последните години телевизията претърпя истинска революция по отношение на качеството на изображението, звука и интерактивността със зрителя. Тази трансформация се дължи на преобразуването на аналоговия сигнал в цифровия сигнал. Много градове обаче все още не разполагат с тази нова технология. Стремейки се да донесе тези ползи в три града, една телевизионна станция възнамерява да построи нова предавателна кула, която изпраща сигнал към антени A, B и C, които вече съществуват в тези градове. Местоположението на антената е представено в декартова равнина:
Кулата трябва да бъде разположена на еднакво разстояние от трите антени. Подходящото място за изграждане на тази кула съответства на точката на координатите
А) (65, 35).
Б) (53, 30).
В) (45, 35).
Г) (50, 20).
E) (50, 30).
Резолюция:
Алтернатива Е
Обърнете внимание, че местоположението на кулата трябва да бъде центърът на окръжността на триъгълника, образуван от точки A, B и C, тъй като това е равноотдалеченото местоположение на трите антени.
Координатите на кулата Т са\( (x_t, y_t)\). Тъй като T принадлежи на ъглополовящата на AB (дадена от правата x = 50), хоризонталното местоположение на кулата трябва да бъде \(x_t=50\).
За определяне на хоризонталната координата \(y_t\) на кулата, можем да използваме израза за разстоянието между две точки два пъти. Тъй като кулата е на равно разстояние, например, от върховете A и C (AT = CT), имаме:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Опростявайки, получаваме \(y_t=30\).
От Мария Луиза Алвес Рицо
Учител по математика
Разберете какво е апотемата на многоъгълник и как да изчислите нейната мярка. Знайте също основните формули за това изчисление.
Вижте тук основните характеристики на обиколката и научете как да изчислите нейната площ и дължина. Вижте също как да напишете уравнението на окръжност.
Определяне на тангенса на ъгъла на наклона на правата.
Най-късото разстояние между всеки две точки е права линия. Вижте как да изчислите това разстояние и научете как да установите математическа връзка, за да го определите
Разберете какво е общото уравнение на правата и как да го намерите, в допълнение към проверката на графичното представяне на права от нейното уравнение.
Научете как да изчислявате средата на отсечка с помощта на аналитична геометрия!
Вижте тук забележителните точки на триъгълник и научете основните му свойства. Вижте също как тези точки могат да улеснят разрешаването на някои проблеми.
Разберете какво представляват перпендикулярните прави и научете какво е условието две прави, представени в декартовата равнина, да бъдат перпендикулярни или не.
