О стандартно отклонение е мярка за дисперсия, както и дисперсията и коефициентът на вариация. Когато определяме стандартното отклонение, можем да установим диапазон около средноаритметичната стойност (деление между сбора на числата в списък и броя на добавените числа), където са концентрирани повечето от данните. Колкото по-голяма е стойността на стандартното отклонение, толкова по-голяма е променливостта на данните, т.е. толкова по-голямо е отклонението от средната аритметична стойност.
Прочетете също: Мода, средна стойност и медиана - основните мерки на централните тенденции
Обобщение на стандартното отклонение
- Стандартното отклонение е мярка за променливост.
- Означението за стандартно отклонение е малката гръцка буква сигма (σ) или буквата s.
- Стандартното отклонение се използва за проверка на променливостта на данните около средната стойност.
- Стандартното отклонение определя диапазон \(\left[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\), където се намират повечето от данните.
- За да изчислим стандартното отклонение, трябва да намерим корен квадратен от дисперсията:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Какво е стандартно отклонение?
Стандартното отклонение е a мярка за дисперсия, приета в статистиката. Използването му е свързано с интерпретация на дисперсията, което също е мярка за дисперсия.
На практика стандартното отклонение определя интервал, центриран върху средноаритметичната стойност, в който са концентрирани по-голямата част от данните. Следователно, колкото по-голяма е стойността на стандартното отклонение, толкова по-голяма е нередовността на данните (повече информация разнородни) и колкото по-малка е стойността на стандартното отклонение, толкова по-малка е нередността на данните (повече информация хомогенен).
Как да изчислим стандартното отклонение?
За да изчислите стандартното отклонение на набор от данни, трябва да намерим корен квадратен от дисперсията. И така, формулата за изчисляване на стандартното отклонение е
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\lточки, x_N\) → включени данни.
- μ → средно аритметично на данните.
- N → количество данни.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\наляво (x_3-\mu\вдясно)^2+...+\наляво (x_N-\mu\вдясно)^2 \)
Последният елемент, който се отнася до числителя на подкореното изражение, показва сумата от квадратите на разликата между всяка точка от данни и средната аритметична стойност. Моля, имайте предвид, че мерната единица за стандартното отклонение е същата мерна единица като данните х1,х2,х3,…,хНе.
Въпреки че писането на тази формула е малко сложно, нейното приложение е по-просто и по-директно. По-долу е даден пример как да използвате този израз за изчисляване на стандартното отклонение.
- Пример:
В продължение на две седмици в един град са регистрирани следните температури:
Седмица/Ден |
неделя |
Второ |
трето |
Четвърто |
Пето |
петък |
Събота |
седмица 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
седмица 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
През коя от двете седмици температурата остана по-равномерна в този град?
Резолюция:
За да анализираме редовността на температурата, трябва да сравним стандартните отклонения на температурите, записани през седмици 1 и 2.
- Нека първо да разгледаме стандартното отклонение за седмица 1:
Имайте предвид, че средната μ1 то е Не1 те са
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\приблизително 29,57\)
\(N_1=7 \) (7 дни в седмицата)
Освен това трябва да изчислим квадрата на разликата между всяка температура и средната температура.
\(\ляво (29-29,57\дясно)^2=0,3249\)
\(\ляво (30-29,57\дясно)^2=0,1849\)
\(\ляво (31-29,57\дясно)^2=2,0449\)
\(\ляво (31,5-29,57\дясно)^2=3,7249\)
\(\ляво (28-29,57\дясно)^2=2,4649\)
\(\ляво (28,5-29,57\дясно)^2=1,1449\)
\(\ляво (29-29,57\дясно)^2=0,3249\)
Като добавим резултатите, получаваме, че числителят на подкореното във формулата за стандартно отклонение е
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Така че стандартното отклонение за седмица 1 е
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \приблизително 1,208\ °C\)
Забележка: Този резултат означава, че повечето температури от седмица 1 са в интервала [28,36 °C, 30,77 °C], т.е. \(\вляво[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\вдясно]\).
- Сега нека да разгледаме стандартното отклонение за седмица 2:
Следвайки същите разсъждения, имаме
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\ляво (28,5-28,5\дясно)^2=0\)
\(\ляво (27-28,5\дясно)^2=2,25\)
\(\ляво (28-28,5\дясно)^2=0,25\)
\(\ляво (29-28,5\дясно)^2=0,25\)
\(\ляво (30-28,5\дясно)^2=2,25\)
\(\ляво (28-28,5\дясно)^2=0,25\)
\(\ляво (29-28,5\дясно)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Така че стандартното отклонение за седмица 2 е
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \приблизително 0,89\ °C\)
Този резултат означава, че повечето температури от седмица 2 са в диапазона \(\вляво[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\вдясно]\), тоест диапазонът \(\вляво[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\вдясно]\).
осъзнай това \(\sigma_2, тоест стандартното отклонение за седмица 2 е по-малко от стандартното отклонение за седмица 1. Следователно седмица 2 представи по-редовни температури от седмица 1.
Какви са видовете стандартно отклонение?
Видовете стандартно отклонение са свързани с типа организация на данните. В предишния пример работихме със стандартното отклонение на негрупирани данни. За да изчислите стандартното отклонение на набор от иначе организирани данни (например групирани данни), ще трябва да коригирате формулата.
Какви са разликите между стандартното отклонение и дисперсията?
стандартното отклонение е корен квадратен на дисперсията:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Когато се използва дисперсия за определяне на променливостта на набор от данни, резултатът има единица данни на квадрат, което прави анализа му труден. По този начин стандартното отклонение, което има същата единица като данните, е възможен инструмент за тълкуване на резултата от дисперсията.
Знам повече:Абсолютна честота — броят пъти, когато един и същ отговор се появява по време на събирането на данни
Решени упражнения за стандартно отклонение
Въпрос 1
(FGV) В клас от 10 ученици оценките на учениците при оценяване бяха:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Стандартното отклонение на този списък е приблизително
А) 0,8.
Б) 0,9.
В) 1.1.
Г) 1.3.
Д) 1,5.
Резолюция:
Алтернатива C.
Според изявлението, N = 10. Средната стойност на този списък е
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Освен това,
\(\ляво (6-8\дясно)^2=4\)
\(\ляво (7-8\дясно)^2=1\)
\(\ляво (8-8\дясно)^2=0\)
\(\ляво (9-8\дясно)^2=1\)
\(\ляво (10-8\дясно)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Така че стандартното отклонение на този списък е
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\приблизително 1,1\)
въпрос 2
Разгледайте твърденията по-долу и оценете всяко от тях като T (вярно) или F (невярно).
аз Корен квадратен от дисперсията е стандартното отклонение.
II. Стандартното отклонение няма връзка със средната аритметична стойност.
III. Дисперсията и стандартното отклонение са примери за мерки за дисперсия.
Правилният ред, отгоре надолу, е
А) V-V-F
B) F-F-V
В) F-V-F
Г) Ж-Ж-Ж
E) V-F-V
Резолюция:
Е алтернатива.
аз Корен квадратен от дисперсията е стандартното отклонение. (вярно)
II. Стандартното отклонение няма връзка със средната аритметична стойност. (невярно)
Стандартното отклонение показва интервал около средноаритметичната стойност, в който попадат повечето от данните.
III. Дисперсията и стандартното отклонение са примери за мерки за дисперсия. (вярно)
От Мария Луиза Алвес Рицо
Учител по математика
източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm
