Една от техниките, използвани за решаване квадратни уравнения е методът, известен като пълни квадрати. Този метод се състои в интерпретиране на уравнение на второстепен като перфектен квадратен трином и напишете факторния си формуляр. Понякога тази проста процедура вече разкрива корените на уравнението.
Следователно е необходимо да имате основни познания за забележителни продукти, триномиаленквадратПерфектно и полиномиална факторизация за да използвате тази техника. Често обаче позволява изчисленията да се извършват „в главата“.
Затова ще припомним трите случая на продуктизабележителен преди да демонстрирате методда завършиквадрати, които от своя страна ще бъдат изложени в три различни случая.
Изключителни продукти и перфектни квадратни триноми
След това вижте забележителния продукт, триномиаленквадратПерфектно което е еквивалентно на него и формата факторизирано от този трином, съответно. За да направите това, помислете, че x е неизвестен и The е всяко реално число.
(x + k)2 = х2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(x - k)2 = х2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Уравнението на втората степен, отнасящо се до третата продуктзабележителен, известен като произведение на сумата и разликата, може да бъде решен с помощта на техника, която прави изчисленията още по-лесни. В резултат на това той няма да се разглежда тук.
Уравнението е идеалният квадратен трином
Ако такъв уравнение на второстепен е перфектен квадратен трином, тогава можете да идентифицирате неговите коефициенти като: a = 1, b = 2k или - 2k и c = k2. За да проверите това, просто сравнете квадратното уравнение с a триномиаленквадратПерфектно.
Следователно в решението на уравнение на второстепен х2 + 2kx + k2 = 0, винаги ще имаме възможност да направим:
х2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
По този начин решението е уникално и е равно на –k.
Ако уравнение бъде x2 - 2kx + k2 = 0, можем да направим същото:
х2 - 2kx + k2 = 0
(x - k)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| x - k | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Следователно решението е уникално и равно на k.
Пример: Какви са корените на уравнение х2 + 16x + 64 = 0?
Имайте предвид, че уравнението е a триномиаленквадратПерфектно, тъй като 2k = 16, където k = 8, и k2 = 64, където k = 8. Така че можем да напишем:
х2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = - 8
Тук резултатът е опростен, тъй като вече знаем, че двете решения ще бъдат равни на едно и също реално число.
Уравнението не е идеален триъгъл на квадрат
В случаите, когато уравнение на второстепен не е перфектен квадрат трином, можем да разгледаме следната хипотеза, за да изчислим резултатите от него:
х2 + 2kx + C = 0
Имайте предвид, че за да се превърне това уравнение в a триномиаленквадратПерфектно, просто заменете стойността на C със стойността на k2. Тъй като това е уравнение, единственият начин да направите това е да добавите k2 на двата члена, след което разменете членския коефициент C. Гледам:
х2 + 2kx + C = 0
х2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
х2 + 2kx + k2 = k2 - ° С
След тази процедура можем да продължим с предишната техника, трансформирайки триномиаленквадратПерфектно в забележителен продукт и изчисляване на квадратните корени на двата крайника.
х2 + 2kx + k2 = k2 - ° С
(x + k)2 = k2 - ° С
√ [(x + k)2] = √ (k2 - ° С)
x + k = ± √ (k2 - ° С)
Знакът ± се появява винаги, когато резултатът от a уравнение е квадратен корен, тъй като в тези случаи резултатът от квадратния корен е a модул, както е показано в първия пример. И накрая, остава само да направите:
x = - k ± √ (k2 - ° С)
И така, тези уравнения имат два резултата истински и различен, или няма реален резултат, когато C> k2.
Например, изчислете корените на x2 + 6x + 8 = 0.
Решение: Обърнете внимание, че 6 = 2 · 3x. Следователно, k = 3 и следователно k2 = 9. Следователно числото, което трябва да добавим и в двата члена, е равно на 9:
х2 + 6x + 8 = 0
х2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
х2 + 6x + 9 = 9 - 8
х2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1 - 3 = - 2
x ’’ = - 1 - 3 = - 4
В този случай коефициентът a ≠ 1
когато коефициентът The, дава уравнение на второстепен, се различава от 1, просто разделете цялото уравнение на числовата стойност на коефициента The след това да приложите един от двата предходни метода.
И така, в уравнението 2x2 + 32x + 128 = 0, имаме уникалния корен, равен на 8, защото:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
х2 + 16x + 64 = 0
И в уравнението 3x2 + 18x + 24 = 0, имаме корените - 2 и - 4, защото:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
х2 + 6x + 8 = 0
От Луис Пауло Морейра
Завършва математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm