Шестоъгълник това е многоъгълник който има 6 страни. Правилно е, когато всички страни и вътрешни ъгли са еднакви помежду си. Той е нередовен, когато няма тези характеристики. Първият случай е най-широко изследван, тъй като когато шестоъгълникът е правилен, той има специфични свойства и формули, които ни позволяват да изчислим неговата площ, периметър и апотема.
Прочетете също: Какво е лосангъл?
Резюме за шестоъгълник
Шестоъгълникът е 6-странен многоъгълник.
Тя е редовна, когато всички страни са еднакви.
Неправилно е, когато всички страни не са еднакви.
В правилния шестоъгълник всеки вътрешен ъгъл е 120°.
Сумата от ъгли външните ръбове на правилния шестоъгълник винаги са 360°.
За да изчислим площта на правилния шестоъгълник, използваме формулата:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
О периметър на шестоъгълник е сборът от страните му. Когато е редовен, имаме:
P = 6L
Апотемът на правилния шестоъгълник се изчислява по формулата:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Не спирай сега... След рекламата има още ;)
Какво е шестоъгълник?
Шестоъгълникът е всеки многоъгълник има 6 страни, следователно 6 върха и 6 ъгъла. Тъй като е многоъгълник, той е затворена плоска фигура със страни, които не се пресичат. Шестоъгълникът е повтаряща се форма в природата, както в пчелните пити, в структурите на органична химия, в черупките на някои костенурки и в снежинките.
Видео урок за многоъгълници
шестоъгълни елементи
Шестоъгълникът се състои от 6 страни, 6 върха и 6 вътрешни ъгъла.
върхове: точки A, B, C, D, E, F.
страни: сегментите \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Вътрешни ъгли: ъгли a, b, c, d, f.
Класификация на шестоъгълниците
Шестоъгълниците, подобно на други многоъгълници, могат да бъдат класифицирани по два начина.
правилен шестоъгълник
Шестоъгълникът е правилен, когато го има всичките му съвпадащи страни — следователно ъглите им също ще бъдат равни. Правилният шестоъгълник е най-важният от всички, тъй като е най-широко изследван. Възможно е да се изчислят няколко негови аспекта, като площта, със специфични формули.
Наблюдение: Правилният шестоъгълник може да бъде разделен на 6 равностранни триъгълници, тоест триъгълници с равни страни.
→ неправилен шестоъгълник
Неправилният шестоъгълник е този, който има страни с различни мерки. Тя може да бъде изпъкнала или неизпъкнала.
изпъкнал неправилен шестоъгълник
шестоъгълникът е изпъкнал когато имате всички вътрешни ъгли под 180°.
→ Неправилен неизпъкнал шестоъгълник
Шестоъгълникът не е изпъкнал, когато има вътрешни ъгли над 180°.
свойства на шестоъгълника
→ Брой диагонали в шестоъгълник
Първото важно свойство е това в изпъкнал шестоъгълник винаги има 9 диагонала. Можем да намерим тези 9 диагонала геометрично:
Можем също да намерим диагоналите алгебрично, като използваме следната формула:
\(d=\frac{n\вляво (n-3\вдясно)}{2}\)
Ако заместим 6 в уравнението, имаме:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Така че изпъкнал шестоъгълник винаги ще има 9 диагонала.
Знам повече: Правоъгълен блок диагонал — сегмент, свързващ два от неговите върха, които не са на едно и също лице
→ Вътрешни ъгли на шестоъгълник
В шестоъгълник, сумата от вътрешните му ъгли е 720°. За да изпълните тази сума, просто заменете 6 във формулата:
\(S_i=180\вляво (n-2\вдясно)\)
\(S_i=180\вляво (6-2\вдясно)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
В правилния шестоъгълник вътрешните ъгли винаги ще измерват 120° всеки, т.к
720°: 6 = 120°
→ Външни ъгли на правилния шестоъгълник
Що се отнася до външните ъгли, знаем, че Тяхната сума винаги е равна на 360°. Тъй като има 6 външни ъгъла, всеки от тях ще измерва 60°, като
360°: 6 = 60°
→ Правилен шестоъгълен апотем
Счита се, че апотема на правилен многоъгълник елинеен сегмент свързващ центъра на многоъгълника с средна точка на твоя страна. Както знаем, правилният шестоъгълник е съставен от 6 равностранни триъгълника, така че апотемът съответства на височината на един от тези равностранни триъгълници. Стойността на този сегмент може да се изчисли по формулата:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ периметър на шестоъгълника
За да изчислите периметъра на шестоъгълник, просто изпълнете сбор от 6-те му страни. Когато шестоъгълникът е правилен, страните му са равни, така че е възможно да се изчисли периметърът на шестоъгълника по формулата:
P = 6L
→ правилен шестоъгълник
Тъй като знаем, че правилният шестоъгълник се състои от 6 равностранни триъгълника със страни, измерващи L, е възможно да се изведе формула за изчисляване на неговата площ, като се използва изчислението на площ от един триъгълник равностранно, умножено по 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Имайте предвид, че е възможно да опростяване, разделяне на 2, генерирайки формулата за изчисляване на площта на шестоъгълника:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Шестоъгълник, вписан в кръг
Казваме, че многоъгълникът е вписан в a обиколка когато той е вътре в кръга, а върховете му са точки от това. Можем да представим правилния шестоъгълник, вписан в кръг. Когато направим това представяне, е възможно да се провери, че дължината на радиуса на окръжността е равна на дължината на страната на шестоъгълника.
Знайте също: Кръг и обиколка - Каква е разликата?
Шестоъгълник, описан в кръг
Казваме, че многоъгълникът е описан от окръжност, когато обиколката е вътре в този многоъгълник. Можем да представим описания правилен шестоъгълник. В този случай окръжността е допирателна към средата на всяка страна на шестоъгълника, което прави радиуса на окръжността равен на апотема на шестоъгълника.
шестоъгълна призма
THE Геометрия на равнината е основата за проучвания на Пространствена геометрия. О шестоъгълник може да присъства в основата на геометрични твърди тела, както в призми.
За да намерите обема на a призма, ние изчисляваме произведението на площта на основата и височината. Тъй като основата му е шестоъгълник, неговата сила на звука може да се изчисли по:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Прочетете също: Обем на геометричните тела - как да изчислим?
Шестоъгълна основна пирамида
В допълнение към шестоъгълната призма, има и пирамиди шестоъгълна основа.
да откриете обем на пирамида на шестоъгълна основа, изчисляваме произведението на площта на основата, височината и разделяме на 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Обърнете внимание, че умножаваме и разделяме на три, което позволява a опростяване. И така, обемът на пирамида с шестоъгълна основа се изчислява по формулата:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Решени упражнения върху шестоъгълник
Въпрос 1
Земята е оформена като правилен шестоъгълник. Искате да обградите тази зона с бодлива тел, така че телта да обиколи територията 3 пъти. Като се знае, че общо 810 метра тел са изразходвани за ограда на цялата земя, площта на този шестоъгълник е приблизително:
(Използвайте \(\sqrt3=1,7\))
А) 5102 m²
Б) 5164 m²
В) 5200 m²
Г) 5225 m²
E) 6329 m²
Резолюция:
Алтернатива Б
Периметърът на правилния шестоъгълник е
\(P=6L\)
Тъй като бяха направени 3 обиколки, бяха изразходвани общо 270 метра за завършване на една обиколка, тъй като знаем, че:
810: 3 = 270
Така че имаме:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ метра\)
Като знаем дължината на страната, ще изчислим площта:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Закръглявайки, получаваме:
\(A\прибл.5164m^2\)
въпрос 2
(PUC - RS) За механична предавка искате да направите част с правилна шестоъгълна форма. Разстоянието между успоредните страни е 1 см, както е показано на фигурата по-долу. Страната на този шестоъгълник е с размери ______ cm.
THE) \(\frac{1}{2}\)
Б) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
° С) \(\sqrt3\)
Д) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
Д) 1
Резолюция:
Алтернатива Б
По отношение на правилния шестоъгълник знаем, че неговият апотем е мярката от центъра до средата на една от страните. По този начин апотемът е половината от разстоянието, посочено на изображението. И така, трябва да:
\(2a=1см\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Тогава апотемът е равен на \(\frac{1}{2}\). Има връзка между страните на шестоъгълника и апотема, тъй като в правилния шестоъгълник имаме:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Тъй като знаем стойността на апотема, можем да го заместим \(a=\frac{1}{2}\) в уравнението:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Рационализация на дроба:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
