Упражнения върху PA и PG

Изучавайте аритметична и геометрична прогресия с решени и коментирани упражнения стъпка по стъпка.

Упражнение 1

В AP, a2 = 5 и a7 = 15. Намерете a4 и добавете първите пет члена на този AP.

виж отговора

Правилен отговор: a4 = 9 и S = ​​35.

Резолюция

1-ва стъпка: определете причината и а4.
За да напуснем a2 и да стигнем до a7, добавяме 5r, тъй като това е "разстоянието" между 7 и 2.

Терминът a4 е членът a2 плюс 2r, защото за да стигнем от a2 до a4, ние „напредваме“ 2r. Скоро,

Следователно, четвъртият мандат на AP е 9.

2-ра стъпка: определете сумата от първите пет члена на този AP.

Сборът от условията на AP се дава от:

a1 = a2 - r (защото се връщаме една позиция назад в PA, започвайки от a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (защото се връщаме две позиции назад в PA, започвайки от a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

Упражнение 2

(Аеронавтика 2021) Професор написа 8-членна нарастваща аритметична прогресия, започваща с числото 3 и съставена само от естествени числа. След това забеляза, че вторият, четвъртият и осмият член на тази аритметична прогресия образуват в този ред геометрична прогресия. Професорът също така отбеляза, че сборът от членовете на тази геометрична прогресия е равен на

а) 42
б) 36
в) 18
г) 9

виж отговора

Отговор: а) 42

Според AP термините, които образуват PG са a2, a4 и a8:

Сборът от трите члена е:

За да определим r, използваме средната геометрична стойност:

Квадратиране на двете страни

Възвеждане на квадрат на първия член и разпределяне на втория член:

Замествайки r в уравнение I, имаме:

Следователно сборът от първите три члена е равен на 42.

Упражнение 3

(PM-SP 2019) През 2015 г. голяма петролна компания започна процеса на повторно използване на водата, използвана за охлаждане на частите, които произведе и направи прогноза за постепенно увеличаване, в аритметична прогресия, до 2050 г., на обема вода, който ще се използва повторно, година след година година.

Таблицата показва обемите вода, използвани повторно през първите 3 години:

Нека An е общият член на аритметичната прогресия, който показва обема на повторно използваната вода, в милиони m³, с n = 1, представляващи обема вода, използвана повторно през 2016 г., n = 2, представляваща обема вода, използвана повторно през 2017 г., и т.н. последователно.

При тези условия човек трябва

а) An = 0,5n – 23,5.
б) An = 23,5 + 0,5n.
в) An = 0,5n + 23.
г) An = 23 – 0.5n.
д) An = 0,5n - 23.

виж отговора

Правилен отговор: в) An = 0,5n + 23.

обективен
Определете An като функция на n.

Резолюция
Съотношението на аритметичната прогресия е 0,5, защото 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Общият термин на AP се дава от:

Заместване на стойностите:

Упражнение 4

(CEDERJ 2021) Последователността (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) е аритметична прогресия на отношение 6. Четвъртият член на тази прогресия е

а) 31.
б) 33.
в) 35.
г) 37.

виж отговора

Правилен отговор: а) 31

Резолюция

Четвъртият член е a3 + r, както следва:

Заместване на намерените стойности:

Упражнение 5

(Enem 2021) В Бразилия времето, необходимо на студента да завърши обучението си до завършване на по-висок курс, като се има предвид 9 години основно училище, 3 години гимназия и 4 години завършване (средно време), това е 16 години. Реалността на бразилците обаче показва, че средното време за обучение на хора над 14 години все още е много малко, както е показано в таблицата.

Имайте предвид, че увеличаването на времето за обучение във всеки период за тези хора остава постоянно до годината 2050 г. и че е предназначено да достигне нивото от 70% от времето, необходимо за получаване на по-високия даден курс преди това.
Ще бъде годината, в която средното време за обучение на хора над 14 години достигне желания процент

а) 2018 г.
б) 2023 г.
в) 2031 г.
г) 2035 г.
д) 2043 г.

виж отговора

Правилен отговор: г) 2035 г.

1-ва част: определете 70% от 16.

2-ра част: определете след колко периода ще бъдат достигнати 11,2 години обучение.

Времевата последователност на изследването е аритметична прогресия (AP) със съотношение 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5.2

Сумата 11,2 години ще бъде достигната в:

Сумата от 11,2 ще бъде достигната в 11-ия мандат на ЗП.

3-та част: определете кой е 11-ият срок от АП на годините.

Съотношението е a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 години

Заключение
70% от 16-те години, необходими за завършване на бакалавърска степен, ще бъдат достигнати през 2035 г.

Упражнение 6

(Пожарна служба 2021) Самолет и пожарна кола имат водни резервоари с вместимост съответно 12 000 и 8 000 литра вода. Камионът има помпа 2,5 GPM, което означава, че е в състояние да изпомпва 2,5 галона в минута.

От тази хипотетична ситуация преценете следния елемент, като се има предвид, че 1 галон е равен на 3,8 литра вода.

Ако резервоар за вода има капацитет от X хиляди литра, така че 8, X и 12 са в геометрична прогресия, в този ред, тогава капацитетът на този резервоар е по-малък от 10 хиляди литра.

правилно

Грешно

виж отговора

Правилен отговор: правилно

обективен
Проверете дали X < 10.

Резолюция
В геометрична прогресия, PG, средният член е средната геометрична стойност между крайностите.

Всъщност приблизителният корен квадратен от 96 е 9,79. Заключаваме, че капацитетът X на резервоара е по-малък от 10 хиляди литра.

Упражнение 7

(Аеронавтика 2021) Бъдете P.G. (24, 36, 54, ...). Чрез добавяне на 5-ти и 6-ти термин от това G.P. имаше

а) 81/2
б) 405/2
в) 1215/4
г) 1435/4

виж отговора

Правилен отговор: в) 1215/4

обективен
Добавете a5 + a6

Резолюция

Стъпка 1: Определете съотношението q.

Причината за PG е:

Стъпка 2: Определете a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

Заместване на a4 в a5:

Стъпка 3: Определете a6

a6 = a5. q

Заместване на a5 в a6:

Стъпка 4: Добавете a5 + a6, като замените числовите стойности.

Привеждане на 54 като доказателство:

Упражнение 8

(UERJ 2019) Триъгълниците A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, илюстрирани по-долу, имат периметри съответно p1, p2, p3. Върховете на тези триъгълници, започвайки от втория, са средните точки на страните на предишния триъгълник.

признай това .

Така (p1, p2, p3) дефинира следната прогресия:

а) аритметично отношение = – 8
б) аритметично отношение = – 6
в) геометрично съотношение = 1/2
г) геометрично съотношение = 1/4

виж отговора

Правилен отговор: в) геометрично съотношение = 1/2

Резолюция

Стъпка 1: дефинирайте периметрите p1, p2 и p3.

Чрез паралелизъм проверяваме, че страните на вътрешния триъгълник са половината от непосредствено външния.

Например, B2A2 = A1C2

Така p2 е половината от p1, точно както p3 е половината от p2. Ние имаме:

Стъпка 2: Съберете прогресията и я класифицирайте.

Оказва се, че за да се определи p2, 18 се умножава по 1/2.

Също така, 9, умножено по 1/2, е 4,5.

Заключение
Проверяваме дали прогресията е геометрична, със съотношение 1/2.

Упражнение 9

(Enem 2021) Графиката информира производството, регистрирано от индустрията през месеците януари, март и април.

Поради логистични проблеми, проучването на производството за месец февруари не е извършено. Информацията за останалите три месеца обаче предполага, че производството през този четиримесечен период е нараснало експоненциално, както е показано от кривата на тренда, проследена в графиката.

Ако приемем, че растежът през този период е експоненциален, може да се заключи, че производството на тази индустрия през месец февруари, в хиляди единици, е било

а) 0.
б) 120.
в) 240.
г) 300.
д) 400.

виж отговора

Правилен отговор: в) 240.

Резолюция

Общият член на PG е експонента a като функция на n, където a1 и q са постоянни числа.

a1 = 120

Съотношението q може да се определи от a4 / a3, както следва:

Февруарското количество е a2, което се получава чрез умножаване на a1 по q.

Следователно производството през месец февруари е 240.

Учете повече с:

• Упражнения за геометрична прогресия
• Упражнения за аритметична прогресия

Вижте също:

• PA и PG: резюме, формули и упражнения
• Геометрична прогресия
• аритметична прогресия