Факторизацията на полиноми се състои от методи, разработени за пренаписване на полином като произведение между полиноми. Запишете полинома като умножение между два или повече фактора помага за опростяване на алгебричните изрази и разбирането на полином.
Има различни случаи на факторинг, като за всеки от тях има специфични техники.. Съществуващите случаи са: разлагане на множители по общ фактор в доказателствата, разлагане на множители чрез групиране, разлика между два квадрата, перфектен квадратен трином, сбор от два куба и разлика на два куба.
Прочетете още:Какво е полином?
Резюме на факторинг полиноми
Факторизацията на полиномите са техники, използвани за представяне на полинома като продукт между полиноми.
Използваме тази факторизация за опростяване алгебрични изрази.
-
Случаите на факторинг са:
Факторизиране по общ фактор в доказателствата;
Факторизиране чрез групиране;
перфектен квадратен трином;
разлика от два квадрата;
сума от два куба;
Разлика от два куба.
Случаи на полиномиален факторинг
За да разложим полином,
необходимо е да се анализира в кой от случаите на факторинг се вписва ситуацията, като: разлагане по общ множител в доказателствата, разлагане чрез групиране, разлика между два квадрата, перфектен квадратен трином, сума от два куба и разлика от два куба. Нека да видим как да извършим факторизацията във всеки от тях.Не спирай сега... След рекламата има още ;)
Често срещан фактор в доказателствата
Използваме този метод на разлагане, когато има фактор, общ за всички членове на полинома. Този общ фактор ще бъде подчертан като един фактор, а другият фактор, резултат от дивизия на термините от този общ фактор, ще бъдат поставени в скоби.
Пример 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Анализирайки всеки член от този полином, е възможно да се види, че x се повтаря във всички термини. Освен това всички коефициенти (20, 12 и 8) са кратни на 4, така че общият за всички термини фактор е 4x.
Разделяйки всеки член на общия множител, имаме:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Сега ще напишем факторизацията, поставяйки общия фактор като доказателство и сума от резултатите, намерени в скоби:
4x (5y + 3x + 2y²)
Пример 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Анализирайки буквалната част на всеки термин, е възможно да се види, че a²b се повтаря във всички тях. Имайте предвид, че няма число, което да дели 2, 3 и – 4 едновременно. Така че общият фактор ще бъде само a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4-ти5b³: a²b = 4a³
По този начин, факторизацията на този полином ще бъде:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Вижте също: Събиране, изваждане и умножение на полиноми — разберете как се правят
групиране
Този метод е използва се, когато няма общ фактор за всички членове на полинома. В този случай ние идентифицираме термини, които могат да бъдат групирани с общ фактор и ги подчертаваме.
пример:
Разложете на множители следния полином:
ax + 4b + bx + 4a
Ще групираме термините, които имат a и b като общ фактор:
ax + 4a + bx + 4b
Поставяйки a и b като доказателство по отношение на две по две, имаме:
a(x+4)+b(x+4)
Обърнете внимание, че в скобите факторите са еднакви, така че можем да пренапишем този полином като:
(a + b) (x + 4)
перфектен квадратен трином
Триномите са полиноми с 3 члена. Полиномът е известен като перфектен квадратен трином, когато е такъв сума на квадрат или разлика на квадрат резултат, това е:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Важно: Не всеки път, когато има три члена, този полином ще бъде перфектен квадратен трином. Следователно, преди да се извърши факторизацията, трябва да се провери дали триномът пасва в този случай.
пример:
Фактор, ако е възможно, полинома
x² + 10x + 25
След като анализираме този трином, ще извлечем корен квадратен първи и последен мандат:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Важно е да се провери дали централният член, тоест 10x, е равен на \(2\cdot\ x\cdot5\). Имайте предвид, че наистина е същото. Така че това е перфектен квадратен трином, който може да бъде разложен на множители по:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
разлика от два квадрата
Когато имаме разлика от два квадрата, можем да факторизираме този полином, като го пренапишем като произведение на сбора и разликата.
пример:
Разложете полинома на множители:
4x² – 36y²
Първо, ще изчислим квадратния корен на всеки от неговите термини:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Сега ще пренапишем този полином като произведение на сбора и разликата на намерените корени:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Прочетете също: Алгебрично изчисление, включващо мономи - научете как се извършват четирите операции
сума от два куба
Сумата от два куба, тоест a³ + b³, може да се разложи като:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
пример:
Разложете полинома на множители:
x³ + 8
Знаем, че 8 = 2³, така че:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Разлика от два куба
Разликата на два куба, тоест a³ – b³, не за разлика от сбора от два куба, може да се разложи като:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
пример:
Разбийте полинома на множители
8x³ - 27
знаем, че:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Така че трябва да:
\(8x^3-27=\вляво (2x-3\вдясно)\)
\(8x^3-27=\вляво (2x-3\вдясно)\вляво (4x^2+6x+9\вдясно)\)
Решени упражнения за разлагане на полиноми
Въпрос 1
Използване на полиномна факторизация за опростяване на алгебричния израз \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), ние ще намерим:
а) х + 2
Б) х - 2
° С) \(\frac{x-2}{x+2}\)
Д) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Резолюция:
Алтернатива D
Поглеждайки към числителя, виждаме, че x² + 4x + 4 е случай на перфектен квадратен трином и може да се пренапише като:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Числителят x² – 4 е разликата на два квадрата и може да се пренапише като:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Следователно:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Обърнете внимание, че терминът x + 2 се появява както в числителя, така и в знаменателя, така че неговото опростяване се дава от:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
въпрос 2
(Unifil Institute) Като се има предвид, че две числа, x и y, са такива, че x + y = 9 и x² – y² = 27, стойността на x е равна на:
а) 4
Б) 5
В) 6
Г) 7
Резолюция:
Алтернатива C
Обърнете внимание, че x² – y² е разликата между два квадрата и може да се разложи като произведение на сбора и разликата:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Знаем, че x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
След това можем да настроим a система от уравнения:
Добавяне на двата реда:
2x + 0 y = 12
2x = 12
х = \(\frac{12}{2}\)
х = 6
От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика
