Правилото на Сарус. Детерминанта и правилото на Сарус

Всяка квадратна матрица може да бъде свързана с число, което се получава от изчисленията, извършени между елементите на тази матрица. Това число се нарича детерминант.

Редът на квадратната матрица определя най-добрия метод за изчисляване на нейната детерминанта. За матрици от порядък 2 например е достатъчно да се намери разликата между произведението на елементите на главния диагонал и произведението на елементите на вторичния диагонал. За матрици 3x3 можем да приложим правилото на Сарус или дори Теорема на Лаплас. Струва си да се помни, че последното може да се използва и за изчисляване на детерминанти на квадратни матрици с порядък, по-голям от 3. В конкретни случаи изчисляването на детерминанта може да бъде опростено само с няколко определящи свойства.

За да разберете как се изчислява детерминантата с правилото на Сарус, разгледайте следната матрица A от ред 3:

Представяне на матрица от порядък 3

Първоначално първите две колони се повтарят вдясно от матрица A:

Трябва да повторим първите две колони вдясно от матрицата

След това елементите на главния диагонал се умножават. Този процес трябва да се извърши и с диагоналите, които са вдясно от главния диагонал, така че да е възможно добавете произведенията на тези три диагонала:

дет А_за = В₁₁.The₂₂.The₃₃ + на₁₂.The₂₃.The₃₁ + на₁₃.The₂₁.The₃₂

Трябва да добавим продуктите на основните диагонали

Същият процес трябва да се извърши с вторичния диагонал и другите диагонали отдясно. Въпреки това е необходимо извади намерени продукти:

дет А_с = - а₁₃.The₂₂.The₃₁ - а₁₁.The₂₃.The₃₃ - а₁₂.The₂₁.The₃₃

Трябва да извадим продуктите от вторичните диагонали

Обединявайки двата процеса, е възможно да се намери детерминантата на матрица A:

det A = det A_за + Дет. А_с

det A = В₁₁.The₂₂.The₃₃ + на₁₂.The₂₃.The₃₁ + на₁₃.The₂₁.The₃₂- а₁₃.The₂₂.The₃₁ - а₁₁.The₂₃.The₃₃ - а₁₂.The₂₁.The₃₃

Представяне на прилагането на правилото на Сарус

Сега вижте изчислението на детерминанта на следната матрица B от порядък 3x3:

Изчисляване на детерминанта на матрица B с помощта на правилото на Сарус

Използвайки правилото на Сарус, изчисляването на детерминанта на матрица B ще се извърши, както следва:

Прилагане на правилото на Сарус за намиране на детерминанта на матрица B

det B = Б₁₁.B₂₂.B₃₃ + b₁₂.B₂₃.B₃₁ + b₁₃.B₂₁.B₃₂- Б₁₃.B₂₂.B₃₁ - Б₁₁.B₂₃.B₃₃ - Б₁₂.B₂₁.B₃₃

det B = 1.3.2 + 5.0.4 + (–2).8.(–1) – (–2).3.4 – 1.0.(–1) – 5.8.2

det B = 6 + 0 + 16 – (–24) – 0 – 80

det B = 22– 56

det B = – 34

Следователно, според правилото на Сарус, детерминантата на матрица B е – 34.

От Аманда Гонсалвес
Завършил математика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm