Тригонометрични функции на двойната дъга

Помислете за дъга от тригонометричната обиколка, която измерва 45 °, двойната му дъга е дъга 90 °, но това не е означава, че стойността на тригонометричните функции (синус, косинус и тангенс) на двойната дъга е два пъти по-голяма от тази на дъгата, чрез пример:
Ако дъгата е равна на 30 °, вашата двойна дъга ще бъде 60 °. Sin 30 ° = 1/2, sin 60 ° = √3 / 2, така че виждаме, че макар 60 ° да е двойно 30 °, sin 60 ° не е двоен sin 30 °. Можем да приложим същата ситуация с няколко други дъги и тригонометрични функции, но ще стигнем до същото заключение.
Като цяло, разгледайте всяка дъга с мярка β, нейната двойна дъга ще бъде 2β, следователно, sin β ≠ sin 2β, тоест sin 2β ≠ 2. грях β.
По този начин, за да намерим стойността на тригонометричните функции на двойна дъга (sin 2β, cos 2β и tg 2β), ще трябва да следваме някои взаимоотношения между дъга β и нейната двойна дъга 2β.
Тези взаимоотношения ще бъдат направени чрез тригонометрични функции на добавяне на дъга. Виж как:
• Cos 2β
Според добавянето на дъги, cos 2β е равно на:

cos 2β = cos (β + β) = cos β. cos β - sin β. грях β
Присъединявайки се към подобни условия ще имаме:
cos 2β = cos (β + β) = cos² β - грях² β
Следователно изчислението на cos 2β ще бъде направено по следната формула:
cos 2β = cos² β - грях² β
• Sen 2β
Според добавянето на дъги sin 2β е равно на:
Sen 2β = sin (β + β) = sin β. cos β + sin β. cos β
Поставяйки подобни термини в доказателство, ще имаме:
Sen 2β = sin (β + β) = 2. грях β. cos β
Следователно изчисляването на sin 2β ще бъде направено по следната формула:
Sen 2β = 2. грях β. cos β
• tg 2β
Според добавянето на дъги tg 2β е равно на:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 - tg x. tg β
Присъединявайки се към подобни условия ще имаме:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ 
1 - tg²β
Следователно изчислението на tg 2β ще бъде направено по следната формула:
tg 2β = 2 tgβ 
1 - tg²β

от Даниел де Миранда
Завършва математика
Училищен отбор на Бразилия

Тригонометрия - Математика - Бразилско училище

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm