Таблицата на истината или таблицата на истината е математически инструмент, широко използван в областта на логическите разсъждения. Целта му е да провери логическата валидност на сложното предложение (аргумент, формиран от две или повече прости предложения).
Примери за съставни предложения:
- Джон е висок и Мери е ниска.
- Питър е висок или Йоана е руса.
- ако Питър е висок, тогава Джоан е червенокоса.
Всяко от горните съставни предложения се формира от две прости предложения, обединени от смелите свързващи елементи. Всяко просто предложение може да бъде вярно или невярно и това директно ще означава логическата стойност на съставното предложение. Ако приемем фразата "Джон е висок, а Мери е ниска”, Възможните оценки на това изявление ще бъдат:
- Ако Джон е висок, а Мери е ниска, фразата „Джон е висок, а Мери е нисък“ е ИСТИНСКА.
- Ако Джон е висок и Мери не е ниска, фразата „Джон е висок, а Мери е нисък“ е НЕВЯРНА.
- Ако Джон не е висок, а Мери е нисък, фразата „Джон е висок, а Мери е нисък“ е НЕВЯРНА.
- Ако Джон не е висок и Мери не е нисък, фразата „Джон е висок, а Мери е нисък“ е НЕВЯРНА.
Таблицата за истината очертава същите тези разсъждения (виж темата Съчетание по-долу) по-директно. Освен това могат да се прилагат правила за таблицата на истината. независимо от броя на предложенията в изречението.
Как работи?
Първо, превърнете предложенията на въпроса в символи, използвани в логиката. Списъкът с универсално използваните символи е:
| Символ | Логическа операция | Значение | Пример |
|---|---|---|---|
| P | . | Предложение 1 | p = Джон е висок. |
| Какво | . | Предложение 2 | q = Мери е ниска. |
| ~ | Отричане | не | Ако Джон е висок, "~ стр" фалшиво е. |
| ^ | Съчетание | и | P^Какво = Джон е висок, а Мери е нисък. |
| v | Дизюнкция | или | Pvq = Джон е висок или Мери е нисък. |
| → | Условна | ако тогава | P→Какво = Ако Джон е висок, тогава Мери е ниска. |
| ↔ | двуусловен | ако и само ако | P↔q = Джон е висок, ако и само ако Мери е ниска. |
След това се сглобява таблица с всички възможности за оценяване на сложно предложение, като замества изявленията със символи. Струва си да се изясни, че в случаите, когато има повече от две предложения, те могат да бъдат символизирани с буквите r, с, и така нататък.
Накрая се прилага логическата операция, дефинирана от показания конектор. Както е изброено по-горе, тези операции могат да бъдат: отрицание, конюнкция, дизюнкция, условни и бикондиционални.
Отричане
Отричането се символизира от ~. Логическата операция на отрицанието е най-проста и често не изисква използването на таблицата на истината. Следвайки същия пример, ако Джон е висок (p), казвайки, че Джон не е висок (~ p) е FALSE, и обратно.
Съчетание
Съединението е символизирано от ^. Примерът „Йоан е висок, а Мери е нисък“ ще бъде символизирано от „стр^q "и таблицата на истината ще бъде:
Съвпадът предполага идея за натрупване, така че ако едно от простите твърдения е невярно, невъзможно е съставното предложение да е вярно.
Заключение: конюнктивните съставни предложения (съдържащи свързващото и) ще бъде вярно само когато всички негови елементи са верни.
Пример:
- Пауло, Ренато и Тулио са мили, а Каролина е забавна. - Ако Пауло, Ренато или Тулио не са мили или Каролина не е смешна, предложението ще бъде НЕВЯРНО. Необходимо е това всичко информацията е вярна за съставното предложение да е ИСТИНА.
Дизюнкция
Дизюнкцията е символизирана от v. Промяна на свързващото от примера по-горе на или ще имаме „Джон е висок или Мери е нисък“. В този случай фразата ще бъде символизирана с „pvq "и таблицата на истината ще бъде:
Дизюнкцията предполага идея за редуване, следователно е достатъчно едно от простите твърдения да е вярно, за да е вярно и съставното.
Заключение: дизунктивните съставни предложения (които съдържат свързващото или) ще бъде невярно само когато всички негови елементи са неверни.
Пример:
- Майка ми, баща ми или чичо ми ще ми подарят. - За да бъде ИСТИНАТА ИСТИНСКА, е достатъчно само един от майката, бащата или чичото да даде подаръка. Предложението ще бъде ЛЪЖНО само ако никой от тях не го даде.
Условна
Условното е символизирано от →. Изразява се чрез свързващите вещества ако и тогава, които свързват простите предложения в причинно-следствена връзка. Примерът „Ако Пауло е от Рио де Жанейро, значи е бразилец“ става „стр→q "и таблицата на истината ще бъде:
Условните имат предшестващо предложение и последващо предложение, разделени от съединителната тогава. При анализа на условните условия е необходимо да се прецени кои случаи е предложението може да е възможно, като се има предвид връзката на импликацията между предшестващото и последващото.
Заключение: Условни съставни предложения (съдържащи свързващите елементи ако и тогава) ще бъде невярно само ако първото предложение е вярно, а второто невярно.
Пример:
- Ако Пауло е от Рио, значи е бразилец. - За да се счита това предложение за ИСТИНСКО, е необходимо да се оценят случаите, в които е ВЪЗМОЖНО. Според таблицата на истината по-горе имаме:
- Пауло е от Рио / Пауло е бразилец = ВЪЗМОЖНО
- Пауло е от Рио де Жанейро / Пауло не е бразилец = НЕВЪЗМОЖЕН
- Пауло не е от Рио / Пауло е бразилец = ВЪЗМОЖНО
- Пауло не е кариока / Пауло не е бразилец = ВЪЗМОЖНО
двуусловен
Двусловното е символизирано от ↔. Чете се чрез свързващите елементи ако и само ако, които взаимно свързват прости предложения в отношение на еквивалентност. Примерът „Джон е щастлив, ако и само ако Мери се усмихне“. става "стр↔q "и таблицата на истината ще бъде:
Бикондиционелите предполагат идея за взаимозависимост. Както показва името, бикондиционалът се състои от две условни: едната започва от P за Какво (P→q) и друг в обратна посока (q→P).
Заключение: В двусловни сложни предложения (съдържащи съединителните елементи ако и само ако) ще бъде вярно само когато всички предложения са верни или всички предложения са неверни.
Пример:
- Жоао е щастлив, ако и само ако Мария се усмихне. - Иска да каже, че:
- Ако Джон е щастлив, Мери се усмихва и ако Мери се усмихва, Джон е щастлив = ИСТИНСКИ
- Ако Джон не е щастлив, Мери не се усмихва и ако Мери не се усмихва, Джон не е щастлив = ИСТИНСКИ
- Ако Джоао е щастлив, Мария не се усмихва = FALSE
- Ако Жоао не е доволен, Мария се усмихва = FALSE
Общ преглед
Обикновено учените от таблиците на истината запомнят заключенията на всяка от логическите операции. За да спестите време при решаване на проблеми, винаги имайте предвид, че:
- Съвместни предложения: Те ще бъдат верни само когато всички елементи са верни.
- Дизюнктивни предложения: Ще бъде фалшиво само когато всички елементи са фалшиви.
- Условни предложения: Те ще бъдат неверни само когато първото твърдение е вярно, а второто невярно.
- Двусловни предложения: Ще бъде вярно само когато всички елементи са верни или всички елементи са неверни.
