Сума от вътрешни и външни ъгли на изпъкнал многоъгълник

Вие изпъкнали многоъгълници са тези, които нямат вдлъбнатина. За да видим дали многоъгълникът е изпъкнал, трябва да забележим, че всеки отсечка с права линия с краища на фигурата не преминава през външната област.

В изпъкналите полигони има формули, които ви позволяват да определите сумата на вътрешния и външния ъгъл. Разгледайте!

Сума от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник

Формулата на сума от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник с n страни е:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Демонстрация:

Ако погледнем, ще видим, че всеки изпъкнал многоъгълник може да бъде разделен на определен брой триъгълници. Вижте няколко примера:

Така че, спомняйки си, че сума от вътрешните ъгли на триъгълник винаги е равна на 180 °, можем да видим, че сумата от вътрешните ъгли на тези фигури по-горе ще бъде дадена от броя на триъгълниците, които фигурата може да бъде разделена на 180 °:

четириъгълник: 2 триъгълника ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Пентагон: 3 триъгълника ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Шестоъгълник: 4 триъгълника ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Така че, за да получим формула за изчисляване на сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник, просто трябва да знаем, най-общо казано, на колко триъгълника може да се раздели изпъкналият многоъгълник.

instagram story viewer

Ако наблюдаваме, има връзка между това количество и броя на страните на фигурите. Броят на триъгълниците е равен на броя на страните на фигурата минус 2, т.е.

$\ dpi {120} \ mathrm {Общо \, от \, три \ шапка {a} ъгли = n - 2}$

Четириъгълник: 4 страни ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Пентагон: 5 страни ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Шестоъгълник: 6 страни ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Така че, като цяло, сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник се дава от: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Коя е формулата, която искахме да демонстрираме.

Пример:

Намерете сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал икосагон.

Икозагонът е 20-странен многоъгълник, т.е. n = 20. Нека заменим тази стойност във формулата:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Следователно сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал икосагон е равна на 3240 °.

Сума от външни ъгли на многоъгълник

НА сума от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник винаги е равно на 360 °, тоест:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Демонстрация:

Вижте няколко безплатни курса

Безплатен онлайн курс за приобщаващо образование
Безплатна онлайн библиотека за играчки и учебен курс
Безплатен онлайн курс по математически игри в образованието в ранна детска възраст
Безплатен онлайн курс за педагогически културни семинари

Ще демонстрираме с примери, че сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник не зависи от броя на страните на фигурата и винаги е равна на 360 °.

Четириъгълник:

четириъгълник Имайте предвид, че всеки вътрешен ъгъл образува ъгъл от 180 ° с външния ъгъл. Тъй като има четири върха, сумата на всички ъгли се дава от 4. 180° = 720°.

Т.е.: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Скоро:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

Веднъж $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , тогава:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Пентагон:

В петоъгълника имаме 5 върха, така че сумата на всички ъгли е дадена с 5. 180° = 900°. Скоро: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Тогава: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . Веднъж $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , тогава: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Шестоъгълник:

В шестоъгълника имаме 6 върха, така че сумата от всички ъгли е дадена с 6. 180° = 1080°. Скоро: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Тогава: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . Веднъж $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , тогава: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Както можете да видите, и при трите примера сумата от външните ъгли, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , доведе до 360 °.

Пример:

Сумата от вътрешния и външния ъгъл на многоъгълник е равна на 1800 °. Какъв е този многоъгълник?

Ние имаме: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Знаейки това във всеки многоъгълник $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , тогава имаме: